Suponha que um experimento é realizado n vezes. Para qualquer evento E do espaço amostral seja n(E) o número de vezes que o evento E ocorre, e defina f(E)=n(E) / n. Mostre que f (.) satisfaz os axiomas de uma probabilidade.

Passo 1

O enunciado diz que um experimento é repetido n vezes e, para qualquer evento E, definimos
f(E) = \frac{n(E)}{n},
onde n(E) é o número de vezes que E ocorre nas n repetições. Para mostrar que f satisfaz os axiomas de probabilidade de Kolmogorov, precisamos verificar:
  1. Não negatividade: \forall E,\;f(E)\ge0.
  2. Normalização: f(\Omega)=1, onde \Omega é o espaço amostral.
  3. Aditividade finita: para eventos disjuntos E_1 e E_2,
f(E_1\cup E_2)=f(E_1)+f(E_2).

Passo 2

(Propriedade de não negatividade)
Como n(E) é um número de ocorrências, tem sempre n(E)\ge0. Como n>0, divide-se sem mudar o sinal, logo
f(E)=\frac{n(E)}{n}\ge0.

Passo 3

(Propriedade de normalização)
Pelo menos um dos n resultados está em \Omega, de modo que n(\Omega)=n. Então
f(\Omega)=\frac{n(\Omega)}{n}=\frac{n}{n}=1.

Passo 4

(Propriedade de aditividade para dois eventos disjuntos)
Se E_1\cap E_2=\varnothing, cada realização que cai em E_1 ou em E_2 é contada exatamente uma vez em n(E_1\cup E_2). Logo
n(E_1\cup E_2)=n(E_1)+n(E_2),
e dividindo por n obtemos
f(E_1\cup E_2) =\frac{n(E_1\cup E_2)}{n} =\frac{n(E_1)+n(E_2)}{n} =\frac{n(E_1)}{n}+\frac{n(E_2)}{n} =f(E_1)+f(E_2).
Esse raciocínio se estende facilmente a qualquer número finito de eventos mutuamente disjuntos.

Resposta

Com isso mostramos que f satisfaz não negatividade, normalização e aditividade finita, ou seja, é uma medida de probabilidade conforme os axiomas de Kolmogorov.

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