Suponha que um experimento é realizado
vezes. Para qualquer evento
do espaço amostral seja
o número de vezes que o evento
ocorre, e defina
. Mostre que
(.) satisfaz os axiomas de uma probabilidade.
Passo 1
O enunciado diz que um experimento é repetido
vezes e, para qualquer evento
, definimos
onde
é o número de vezes que
ocorre nas
repetições. Para mostrar que
satisfaz os axiomas de probabilidade de Kolmogorov, precisamos verificar:
- Não negatividade:
. - Normalização:
, onde é o espaço amostral. - Aditividade finita: para eventos disjuntos
e ,
Passo 2
(Propriedade de não negatividade)
Como é um número de ocorrências, tem sempre
. Como
, divide-se sem mudar o sinal, logo
Como
Passo 3
(Propriedade de normalização)
Pelo menos um dos resultados está em
, de modo que
. Então
Pelo menos um dos
Passo 4
(Propriedade de aditividade para dois eventos disjuntos)
Se , cada realização que cai em
ou em
é contada exatamente uma vez em
. Logo
Se
e dividindo por
obtemos
Esse raciocínio se estende facilmente a qualquer número finito de eventos mutuamente disjuntos.
Resposta
Com isso mostramos que
satisfaz não negatividade, normalização e aditividade finita, ou seja, é uma medida de probabilidade conforme os axiomas de Kolmogorov.