Suponha que
é contínua em
e que
Calcule
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
- Informação:
é contínua em . - Informação:
. - Pergunta: Calcular
.
Não vamos resolver ainda; só listei os dados e o que é pedido para ficar claro.
Passo 2
Mostramos que a função
é uma função par (ou seja, é igual em
e em
). A razão é simples: para qualquer
temos
logo
Isto prova que
é par, porque seu valor em
é o mesmo que em
.
Passo 3
Lembre que a função cosseno é par: para todo
vale
. Assim, o produto
é o produto de duas funções pares, e o produto de funções pares também é par. Portanto
é par, isto é,
Passo 4
Agora usamos a propriedade de integrais de funções pares em intervalos simétricos. Vamos mostrar a identidade básica: se
é par então
Demonstração rápida: escrevemos a integral como soma das metades
Na primeira parcela fazemos a mudança de variável
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
, e
. Assim
Como
é par temos
, logo
Somando com a outra metade obtemos
Passo 5
Aplicando o resultado do passo anterior à nossa função
, obtemos
Pelo enunciado sabemos que
. Portanto a integral desejada vale