Suponha que f é contínua em [-1,1] e que
\int_{0}^{1} \cos (x) f\left(x^{2}\right) d x=7
Calcule
\int_{-1}^{1} \cos (x) f\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
  • Informação: f é contínua em [-1,1].
  • Informação: \displaystyle \int_{0}^{1} \cos(x)\,f\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = 7.
  • Pergunta: Calcular \displaystyle \int_{-1}^{1} \cos(x)\,f\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Não vamos resolver ainda; só listei os dados e o que é pedido para ficar claro.

Passo 2

Mostramos que a função x\mapsto f\bigl(x^{2}\bigr) é uma função par (ou seja, é igual em x e em -x). A razão é simples: para qualquer x temos
\bigl(-x\bigr)^{2}=x^{2},
logo
f\bigl((-x)^{2}\bigr)=f\bigl(x^{2}\bigr).
Isto prova que f\bigl(x^{2}\bigr) é par, porque seu valor em -x é o mesmo que em x.

Passo 3

Lembre que a função cosseno é par: para todo x vale \cos(-x)=\cos(x). Assim, o produto
g(x):=\cos(x)\,f\bigl(x^{2}\bigr)
é o produto de duas funções pares, e o produto de funções pares também é par. Portanto g é par, isto é,
g(-x)=g(x)\quad\text{para todo }x.

Passo 4

Agora usamos a propriedade de integrais de funções pares em intervalos simétricos. Vamos mostrar a identidade básica: se g é par então
\int_{-1}^{1} g(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} g(x)\,dx.
Demonstração rápida: escrevemos a integral como soma das metades
\int_{-1}^{1} g(x)\,dx = \int_{-1}^{0} g(x)\,dx + \int_{0}^{1} g(x)\,dx.
Na primeira parcela fazemos a mudança de variável t=-x. Quando x vai de -1 a 0, t vai de 1 a 0, e dx=-dt. Assim
\int_{-1}^{0} g(x)\,dx = \int_{1}^{0} g(-t)\,(-dt) = \int_{0}^{1} g(-t)\,dt.
Como g é par temos g(-t)=g(t), logo
\int_{-1}^{0} g(x)\,dx = \int_{0}^{1} g(t)\,dt.
Somando com a outra metade obtemos
\int_{-1}^{1} g(x)\,dx = \int_{0}^{1} g(x)\,dx + \int_{0}^{1} g(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} g(x)\,dx.

Passo 5

Aplicando o resultado do passo anterior à nossa função g(x)=\cos(x)\,f\bigl(x^{2}\bigr), obtemos
\int_{-1}^{1} \cos(x)\,f\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = 2\int_{0}^{1} \cos(x)\,f\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Pelo enunciado sabemos que \displaystyle \int_{0}^{1} \cos(x)\,f\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = 7. Portanto a integral desejada vale
2\cdot \int_{0}^{1} \cos(x)\,f\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = 2\cdot 7.

Resposta

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