Calcule
\int_{-1}^{1} x^{2023} \cos x d x

Passo 1

Enunciado: calcular
\int_{-1}^{1} x^{2023}\cos x\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função x^{2023}\cos x.
  • O intervalo de integração é simétrico em torno de zero: de -1 a 1.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?

Passo 2

Definição de paridade (explicação didática):
  • Dizemos que uma função f é par se, para todo x, valer f(-x)=f(x). Exemplos simples: \cos x e x^2.
  • Dizemos que f é ímpar se, para todo x, valer f(-x)=-f(x). Exemplos simples: \sin x e x^3.
Estas definições são úteis porque, em integrais simétricas \int_{-a}^{a}, funções pares e ímpares têm comportamentos simples: integrais de funções ímpares em intervalos simétricos são zero (vamos demonstrar abaixo).

Passo 3

Verificação da paridade das partes do integrando:
  • A função \cos x é par porque
\cos(-x)=\cos x.
  • A função x^{2023} é ímpar porque 2023 é ímpar e, portanto,
(-x)^{2023}=-x^{2023}.
Agora a função produto f(x)=x^{2023}\cos x. Vamos calcular f(-x):
f(-x)=(-x)^{2023}\cos(-x) = (-x^{2023})\cos x = -\bigl(x^{2023}\cos x\bigr) = -f(x).
Logo f é uma função ímpar.

Passo 4

Propriedade geral que usaremos (com demonstração curta):
Se f é ímpar e integrável em [-a,a], então
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Demonstração por substituição (passo a passo): escrevemos a integral como soma de duas:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Na primeira parcela fazemos a substituição t=-x. Quando x=-a temos t=a; quando x=0 temos t=0. O diferencial troca de sinal: dx=-dt. Assim
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{a}^{0} f(-t)(-dt) = \int_{0}^{a} f(-t)\,dt.
Como f é ímpar, f(-t)=-f(t). Então
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} -f(t)\,dt = -\int_{0}^{a} f(t)\,dt.
Somando com a segunda parcela \int_{0}^{a} f(x)\,dx obtemos zero:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = -\int_{0}^{a} f(t)\,dt + \int_{0}^{a} f(x)\,dx = 0.

Passo 5

Aplicação ao nosso caso:
Já vimos que f(x)=x^{2023}\cos x é ímpar e o intervalo é simétrico com a=1. Pelo resultado do passo anterior,
\int_{-1}^{1} x^{2023}\cos x\,dx = 0.
Intuição rápida: o valor positivo da integral em (0,1) é exatamente cancelado pelo valor negativo em (-1,0) porque a função muda de sinal de maneira simétrica.

Resposta

0

Exercícios relacionados