Calcule
Passo 1
Enunciado: calcular
Informações dadas:
- O integrando é a função
. - O intervalo de integração é simétrico em torno de zero: de
a . - A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?
Passo 2
Definição de paridade (explicação didática):
- Dizemos que uma função
é par se, para todo , valer . Exemplos simples: e . - Dizemos que
é ímpar se, para todo , valer . Exemplos simples: e .
Estas definições são úteis porque, em integrais simétricas
, funções pares e ímpares têm comportamentos simples: integrais de funções ímpares em intervalos simétricos são zero (vamos demonstrar abaixo).
Passo 3
Verificação da paridade das partes do integrando:
- A função
é par porque
- A função
é ímpar porque é ímpar e, portanto,
Agora a função produto
. Vamos calcular
:
Logo
é uma função ímpar.
Passo 4
Propriedade geral que usaremos (com demonstração curta):
Se é ímpar e integrável em
, então
Se
Demonstração por substituição (passo a passo): escrevemos a integral como soma de duas:
Na primeira parcela fazemos a substituição
. Quando
temos
; quando
temos
. O diferencial troca de sinal:
. Assim
Como
é ímpar,
. Então
Somando com a segunda parcela
obtemos zero:
Passo 5
Aplicação ao nosso caso:
Já vimos que é ímpar e o intervalo é simétrico com
. Pelo resultado do passo anterior,
Já vimos que
Intuição rápida: o valor positivo da integral em
é exatamente cancelado pelo valor negativo em
porque a função muda de sinal de maneira simétrica.