Suponha que
é contínua em
e que
Calcule
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
é contínua em
.
Pede para calcular
Lista das informações relevantes: a integral conhecida sobre
e a integral desconhecida sobre
. A função aparece composta por
, o que sugere uma mudança de variável linear. Neste passo não resolvemos nada, só identificamos o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Ideia do método: quando vemos uma integral com
a técnica natural é a substituição (mudança de variável)
. Vou explicar essa técnica de forma didática: a substituição serve para “trocar” a variável de integração por outra que simplify a expressão — aqui queremos eliminar o
dentro de
. A regra é: se
então
, e ajustamos também os limites de integração conforme a relação entre
e
.
Passo 3
Faço a substituição
. Calcular
e expressar
:
Agora os limites de integração em
: quando
temos
; quando
temos
. Portanto os limites em
são de
a
. Substituindo na integral:
Aqui
é uma variável “dummy” (apelido) — podemos trocar de nome sem mudar o valor da integral.
Passo 4
Agora uso a propriedade aditiva da integral para separar o intervalo
em
e
:
Pelo dado do enunciado
(note que a variável de integração é só um nome, usei
no enunciado e
acima; são a mesma coisa como integral definida). Substituindo:
Logo, voltando à integral original:
Observação didática: não podemos simplificar mais numericamente sem informação adicional sobre
. A expressão acima é a forma final que relaciona a integral pedida com o dado conhecido.