Suponha que f é contínua em [-1,1] e que
\int_{-1}^{0} f(y) d y=5
Calcule
\int_{0}^{1} f(2 x-1) d x

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\;f é contínua em [-1,1].
\int_{-1}^{0} f(y)\,dy = 5.
Pede para calcular
\int_{0}^{1} f(2x-1)\,dx.
Lista das informações relevantes: a integral conhecida sobre [-1,0] e a integral desconhecida sobre [0,1]. A função aparece composta por 2x-1, o que sugere uma mudança de variável linear. Neste passo não resolvemos nada, só identificamos o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Ideia do método: quando vemos uma integral com f(2x-1) a técnica natural é a substituição (mudança de variável) u=2x-1. Vou explicar essa técnica de forma didática: a substituição serve para “trocar” a variável de integração por outra que simplify a expressão — aqui queremos eliminar o 2x-1 dentro de f(\cdot). A regra é: se u=g(x) então du=g'(x)\,dx, e ajustamos também os limites de integração conforme a relação entre u e x.

Passo 3

Faço a substituição u=2x-1. Calcular du e expressar dx:
u=2x-1 \quad\Rightarrow\quad du=2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{2}.
Agora os limites de integração em x: quando x=0 temos u=2\cdot 0-1=-1; quando x=1 temos u=2\cdot 1-1=1. Portanto os limites em u são de -1 a 1. Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} f(2x-1)\,dx = \int_{u=-1}^{u=1} f(u)\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1} f(u)\,du.
Aqui u é uma variável “dummy” (apelido) — podemos trocar de nome sem mudar o valor da integral.

Passo 4

Agora uso a propriedade aditiva da integral para separar o intervalo [-1,1] em [-1,0] e [0,1]:
\int_{-1}^{1} f(u)\,du = \int_{-1}^{0} f(u)\,du + \int_{0}^{1} f(u)\,du.
Pelo dado do enunciado \int_{-1}^{0} f(y)\,dy=5 (note que a variável de integração é só um nome, usei y no enunciado e u acima; são a mesma coisa como integral definida). Substituindo:
\int_{-1}^{1} f(u)\,du = 5 + \int_{0}^{1} f(u)\,du.
Logo, voltando à integral original:
\int_{0}^{1} f(2x-1)\,dx = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1} f(u)\,du = \frac{1}{2}\Bigl(5 + \int_{0}^{1} f(u)\,du\Bigr).
Observação didática: não podemos simplificar mais numericamente sem informação adicional sobre \int_{0}^{1} f(u)\,du. A expressão acima é a forma final que relaciona a integral pedida com o dado conhecido.

Resposta

\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} f(y)\,dy=\frac{5+\displaystyle\int_{0}^{1} f(y)\,dy}{2}

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