Suponha que a f.d.p. de uma variável aleatória X seja f(x)=0,5 para -1 \leqslant x \leqslant 1 e zero para os demais valores. Encontre g(y), a f.d.p. de Y, e G(y), sua f.a.p, para:
Y=4-X^{2}
Passo 1
O enunciado nos dá uma variável aleatória X com densidade
f(x)=0{,}5\quad\text{para }-1\le x\le1
e zero caso contrário, e define Y=4-X^2. Queremos encontrar a densidade g(y) de Y e sua função de distribuição acumulada G(y) usando a técnica de mudança de variável.
Passo 2
Primeiro identificamos o suporte de Y. Como X\in[-1,1], temos X^2\in[0,1] e portanto
Y=4-X^2\in[4-1,\,4-0]=[3,4].
Logo g(y) será não nula somente em y\in[3,4].
Passo 3
Usamos a fórmula de transformação para variáveis contínuas com duas raízes. Da equação
y=4-x^2
decorre
x=\pm\sqrt{4-y}.
Para cada ramo, calculamos \bigl|\mathrm{d}x/\mathrm{d}y\bigr|. Como