Suponha que a f.d.p. de uma variável aleatória X seja f(x)=0,5 para -1 \leqslant x \leqslant 1 e zero para os demais valores. Encontre g(y), a f.d.p. de Y, e G(y), sua f.a.p, para:
Y=4-X^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória X com densidade
f(x)=0{,}5\quad\text{para }-1\le x\le1
e zero caso contrário, e define Y=4-X^2. Queremos encontrar a densidade g(y) de Y e sua função de distribuição acumulada G(y) usando a técnica de mudança de variável.

Passo 2

Primeiro identificamos o suporte de Y. Como X\in[-1,1], temos X^2\in[0,1] e portanto
Y=4-X^2\in[4-1,\,4-0]=[3,4].
Logo g(y) será não nula somente em y\in[3,4].

Passo 3

Usamos a fórmula de transformação para variáveis contínuas com duas raízes. Da equação
y=4-x^2
decorre
x=\pm\sqrt{4-y}.
Para cada ramo, calculamos \bigl|\mathrm{d}x/\mathrm{d}y\bigr|. Como
x(y)=\pm\sqrt{4-y} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\pm\Bigl(-\frac1{2\sqrt{4-y}}\Bigr),
temos \bigl|\mathrm{d}x/\mathrm{d}y\bigr|=1/(2\sqrt{4-y}).

Passo 4

A densidade de Y vem da soma sobre os dois ramos:
g(y) =\sum_{x_i:\,4-x_i^2=y}f(x_i)\,\bigl|\tfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}y}\bigr| =2\cdot\Bigl(0{,}5\Bigr)\cdot\frac{1}{2\sqrt{4-y}} =\frac{1}{2\sqrt{4-y}},
válido para 3\le y\le4, e zero fora desse intervalo.

Passo 5

Para obter a função de distribuição
G(y)=P(Y\le y)
podemos integrar a densidade ou usar argumentação direta:
G(y)=P(4-X^2\le y)=P\bigl(X^2\ge 4-y\bigr) =1-P\bigl(|X|<\sqrt{4-y}\bigr) =1-\bigl(\sqrt{4-y}\bigr),
onde usamos P(|X|<a)=2a\cdot0{,}5=a para 0\le a\le1. Assim
G(y)=1-\sqrt{4-y}\quad\text{para }3\le y\le4,
completando-se por G(y)=0 em y<3 e G(y)=1 em y>4.

Resposta

A densidade de Y é
g(y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{4-y}},&3\le y\le4,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e a função de distribuição acumulada é
G(y)= \begin{cases} 0,&y<3,\\\\ 1-\sqrt{4-y},&3\le y\le4,\\\\ 1,&y\ge4. \end{cases}

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