Suponha que a f.d.p. de uma variável aleatória X seja f(x)=0,5 para -1 \leqslant x \leqslant 1 e zero para os demais valores. Encontre g(y), a f.d.p. de Y, e G(y), sua f.a.p, para:
Y=2 X+1

Passo 1

O enunciado diz que X é uniforme em [-1,1] com densidade
f(x)=0,5,\quad -1 \le x \le 1,
e que Y=2X+1. Precisamos encontrar a densidade g(y) de Y e sua função acumulada G(y)=P(Y\le y). Para isso vamos usar a transformação linear de variáveis aleatórias e a relação entre as funções densidade e acumulada.

Passo 2

Primeiro determinamos o suporte de Y. Como X\in[-1,1],
Y_{\min}=2\cdot(-1)+1=-1, \qquad Y_{\max}=2\cdot1+1=3,
logo Y\in[-1,3].

Passo 3

A densidade de Y em uma transformação monotônica Y=h(X) é
g(y)=f\bigl(x(y)\bigr)\,\Bigl|\frac{dx}{dy}\Bigr|.
Aqui y=2x+1 implica x=(y-1)/2 e \frac{dx}{dy}=1/2. Como f(x)=0,5 em [-1,1], para y\in[-1,3] temos
g(y)=0,5\cdot\frac12=0,25,
e fora desse intervalo g(y)=0.

Passo 4

A função acumulada de Y\) é \[G(y)=P(Y\le y)= \begin{cases} 0, & y< -1,\\\ \displaystyle\int_{-1}^{y}0,25\,dt=0,25\,(y+1), & -1\le y\le 3,\\\\ 1, & y>3. \end{cases}
Em particular, para (-1\le y\le3] fica
G(y)=\frac{y+1}{4}.

Resposta

g(y)=
\quad para y< -1: 0
\quad para -1\le y\le3: 0,25
\quad para y>3: 0
G(y)=
\quad para y< -1: 0
\quad para -1\le y\le3: \dfrac{y+1}{4}
\quad para y>3: 1

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