Uma variável aleatória contínua tem f.d.p dada por f(x)=\left\{\begin{array}{lr}\frac{x}{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 2, \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{array}\right.á
(a) Verifique que f é realmente f.d.p.
(b) Encontre sua f.d.a.
\text { R. (b) } F(x)=\left\{\begin{array}{rr} 0, & x<0, \\ \frac{x^{2}}{4}, & 0 \leqslant x \leqslant 2, \\ 1, & x>2 . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua com densidade
f(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{2},&0\le x\le2,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede (a) verificar que f é de fato uma f.d.p. e (b) encontrar sua f.d.a. Para isso vamos usar que uma f.d.p. deve ser não-negativa e integrar 1, e que a f.d.a. é
F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm dt.

Passo 2

Verificamos primeiro que f(x)\ge0 em todo x (é zero fora de [0,2] e x/2\ge0 em [0,2]). Em seguida checamos a normalização:
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx =\int_{0}^{2}\frac{x}{2}\,\mathrm dx =\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{0}^{2} =\frac{2^{2}}{4}-0 =1.
Logo f é de fato uma f.d.p.

Passo 3

Vamos calcular
F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm dt
em três faixas de x:
Para x<0, a densidade é zero até x, então
F(x)=0.
Para 0\le x\le2, só contribui o intervalo de 0 a x:
F(x) =\int_{0}^{x}\frac{t}{2}\,\mathrm dt =\left[\frac{t^{2}}{4}\right]_{0}^{x} =\frac{x^{2}}{4}.
Para x>2, toda a massa já foi acumulada em [0,2], então
F(x)=1.

Resposta

F(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\\ \dfrac{x^{2}}{4},&0\le x\le2,\\\\ 1,&x>2. \end{cases}

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