Suponha que a f.d.p. de uma variável aleatória X seja f(x)=0,5 para -1 \leqslant x \leqslant 1 e zero para os demais valores. Encontre g(y), a f.d.p. de Y, e G(y), sua f.a.p, para:
Y=e^{X}

Passo 1

O enunciado diz que X tem densidade
f(x)=0{,}5\quad\text{para }-1\le x\le1,
e zero caso contrário. Definimos Y=e^X e queremos achar a densidade g(y) e a função de distribuição acumulada G(y). O conteúdo aqui é a técnica de mudança de variável monotônica.

Passo 2

Repare que y=e^x é estritamente crescente, com inversa
x=\ln y.
Como x varia em [-1,1], concluímos que
y\in\bigl[e^{-1},e^1\bigr]=\bigl[e^{-1},e\bigr].

Passo 3

Para a densidade de Y, usamos
g(y)=f\bigl(\ln y\bigr)\,\Bigl|\frac{d}{dy}(\ln y)\Bigr| =f(\ln y)\,\frac1y.
Como f(\ln y)=0{,}5 para \ln y\in[-1,1], isto é y\in[e^{-1},e], temos
g(y)= \begin{cases} \dfrac{0{,}5}{y},&e^{-1}\le y\le e,\\[8pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á]

Passo 4

Para a função de distribuição acumulada,
G(y)=P(Y\le y)=P\bigl(e^X\le y\bigr)=P\bigl(X\le\ln y\bigr).
Como X é uniforme em [-1,1],
G(y)= \begin{cases} 0,&y<e^{-1},\\[4pt] \displaystyle\int_{-1}^{\ln y}0{,}5\,dx =\frac{\ln y+1}{2},&e^{-1}\le y\le e,\\[8pt] 1,&y>e. \end{cases}]

Resposta

g(y)=
\begin{cases} \dfrac{0{,}5}{y},&e^{-1}\le y\le e,\\\\ 0,&\text{caso contrário,} \end{cases}á
G(y)=
\begin{cases} 0,&y<e^{-1},\\\ \dfrac{\ln y+1}{2},&e^{-1}\le y\le e,\\\\ 1,&y>e. \end{cases}

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