Inverta a ordem de integração.
(c) \int_{0}^{\pi}\left[\int_{0}^{\operatorname{sen} x} f(x, y) d y\right] d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
\int_{0}^{\pi}\Bigl[\int_{0}^{\sin x}f(x,y)\,dy\Bigr]dx.
O conteúdo é aplicar o Teorema de Fubini e descrever a região de integração no plano (x,y).

Passo 2

Vamos caracterizar a região D integrada pela ordem original. Temos
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le \pi,\;0\le y\le \sin x\}.
Isto significa que, para cada x entre 0 e \pi, y varia de 0 até \sin x.

Passo 3

Para inverter, precisamos ver quais valores de y aparecem em D. Como \sin x varia de 0 até 1 quando x vai de 0 a \pi, o mínimo de y é 0 e o máximo é 1. Logo
0\le y\le 1.

Passo 4

Para cada valor fixo de y\in[0,1], encontramos os valores de x tais que 0\le y\le \sin x. Isso equivale a
\sin x \ge y \quad\Longrightarrow\quad x\in[\arcsin y,\;\pi-\arcsin y].

Passo 5

Agora que temos os limites em função de y, escrevemos a integral com a ordem invertida. Pela Fubini,
\int_{0}^{\pi}\Bigl[\int_{0}^{\sin x}f(x,y)\,dy\Bigr]dx = \int_{0}^{1}\Bigl[\int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y}f(x,y)\,dx\Bigr]dy.

Resposta

\int_{0}^{\pi}\Bigl[\int_{0}^{\sin x}f(x,y)\,dy\Bigr]dx = \int_{0}^{1}\Bigl[\int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y}f(x,y)\,dx\Bigr]dy.

Exercícios relacionados