Supondo ser \left|z_{2}\right|>\left|z_{3}\right|. prove que
\left|\frac{z_{1}}{z_{2}-z_{3}}\right| \leq \frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|-\left|z_{3}\right|}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, sob a hipótese \lvert z_{2}\rvert>\lvert z_{3}\rvert, que
\left|\frac{z_{1}}{z_{2}-z_{3}}\right|\le\frac{\lvert z_{1}\rvert}{\lvert z_{2}\rvert-\lvert z_{3}\rvert}.
O conteúdo principal que vamos usar é a desigualdade triangular reversa para números complexos e manipulação de módulos.

Passo 2

Aplicamos a desigualdade triangular reversa ao par (z_{2},z_{3}). Ela diz que
\lvert z_{2}-z_{3}\rvert \ge \bigl|\lvert z_{2}\rvert - \lvert z_{3}\rvert\bigr|.
Como por hipótese \lvert z_{2}\rvert>\lvert z_{3}\rvert, temos \lvert z_{2}\rvert - \lvert z_{3}\rvert>0, então
\lvert z_{2}-z_{3}\rvert \ge \lvert z_{2}\rvert - \lvert z_{3}\rvert.

Passo 3

Como \lvert z_{2}-z_{3}\rvert e \lvert z_{2}\rvert - \lvert z_{3}\rvert são positivos, podemos inverter a desigualdade:
\frac{1}{\lvert z_{2}-z_{3}\rvert} \le \frac{1}{\lvert z_{2}\rvert - \lvert z_{3}\rvert}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por \lvert z_{1}\rvert\ge0, obtemos
\frac{\lvert z_{1}\rvert}{\lvert z_{2}-z_{3}\rvert} \le \frac{\lvert z_{1}\rvert}{\lvert z_{2}\rvert - \lvert z_{3}\rvert}.
Mas como \bigl|\tfrac{z_{1}}{z_{2}-z_{3}}\bigr| = \tfrac{\lvert z_{1}\rvert}{\lvert z_{2}-z_{3}\rvert}, concluímos exatamente a desigualdade desejada.

Resposta

\left|\frac{z_{1}}{z_{2}-z_{3}}\right|\le\frac{\lvert z_{1}\rvert}{\lvert z_{2}\rvert-\lvert z_{3}\rvert}.

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