Suponha que
são duas funções vetoriais diferenciáveis. Mostre que:
(a)
(b)
, se
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções vetoriais diferenciáveis
. Pede para demonstrar duas fórmulas:
- (a)
. - (b)
, sob a hipótese .
Informações relevantes dadas:
-
e são diferenciáveis em , portanto cada componente de e é uma função real diferenciável. - A notação
é o produto escalar usual em . - A norma
é a norma Euclidiana em .
Passo 2
Primeiro, escrevemos
e
pelas suas componentes para manipularmos explicitamente:
Aqui cada
e
é uma função real diferenciável porque
e
são diferenciáveis componente a componente. O produto escalar é
Vou usar as regras usuais de diferenciação para funções reais: derivada da soma é soma das derivadas e regra do produto para funções escalares.
Passo 3
Demonstração de (a) passo a passo.
Aplicando a derivada à expressão componente a componente:
Aplicando a derivada à expressão componente a componente:
Pela linearidade da derivada (derivada da soma = soma das derivadas) obtemos
Agora aplicamos a regra do produto para cada termo escalar:
. Assim
Agrupando os termos com derivadas em
e com derivadas em
obtemos
Mas essas somas são exatamente os produtos escalares
e
, pois
Portanto concluímos
que é a identidade pedida no item (a).
Passo 4
Preparação para (b): expressar a norma em termos do produto escalar e usar a regra da cadeia.
Lembrando que a norma Euclidiana satisfaz . Definimos a função auxiliar escalar
Lembrando que a norma Euclidiana satisfaz
Então
. Vou aplicar a regra da cadeia à função composta
.
Passo 5
Calcular
usando o resultado de (a) aplicado a
consigo mesma:
Pelo item (a) com
, tem-se
Como o produto escalar é comutativo (
), os dois termos são iguais, então
Observe que essas manipulações são todas para funções escalares, usando propriedades do produto escalar.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia para
.
A derivada de em relação a
é
A derivada de
Substituindo
e
, obtemos
A hipótese
garante que
, portanto a divisão é válida. Isso completa a demonstração do item (b).
Passo 7
Comentário prático e exemplo rápido (para fixar): suponha
. Então
A norma é
. Pela fórmula do item (b),
Isso mostra como aplicar as fórmulas na prática.
Resposta
(a)
(b)