Suponha que F, G: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} são duas funções vetoriais diferenciáveis. Mostre que:
(a) (F(t) \cdot G(t))^{\prime}=F^{\prime}(t) \cdot G(t)+F(t) \cdot G^{\prime}(t) ;
(b) (\|F(t)\|)^{\prime}=\frac{F(t) \cdot F^{\prime}(t)}{\|F(t)\|}, se F(t) \neq(0,0,0).

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções vetoriais diferenciáveis F,G: I\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3. Pede para demonstrar duas fórmulas:
  • (a) \bigl(F(t)\cdot G(t)\bigr)'=F'(t)\cdot G(t)+F(t)\cdot G'(t).
  • (b) \bigl(\|F(t)\|\bigr)'=\dfrac{F(t)\cdot F'(t)}{\|F(t)\|}, sob a hipótese F(t)\neq(0,0,0).
Informações relevantes dadas:
  • F e G são diferenciáveis em I, portanto cada componente de F e G é uma função real diferenciável.
  • A notação \cdot é o produto escalar usual em \mathbb{R}^3.
  • A norma \|\,\cdot\,\| é a norma Euclidiana em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Primeiro, escrevemos F e G pelas suas componentes para manipularmos explicitamente:
F(t)=\bigl(f_1(t),\,f_2(t),\,f_3(t)\bigr),\qquad G(t)=\bigl(g_1(t),\,g_2(t),\,g_3(t)\bigr).
Aqui cada f_i e g_i é uma função real diferenciável porque F e G são diferenciáveis componente a componente. O produto escalar é
F(t)\cdot G(t)=f_1(t)g_1(t)+f_2(t)g_2(t)+f_3(t)g_3(t).
Vou usar as regras usuais de diferenciação para funções reais: derivada da soma é soma das derivadas e regra do produto para funções escalares.

Passo 3

Demonstração de (a) passo a passo.
Aplicando a derivada à expressão componente a componente:
\bigl(F(t)\cdot G(t)\bigr)' =\bigl(f_1(t)g_1(t)+f_2(t)g_2(t)+f_3(t)g_3(t)\bigr)'.
Pela linearidade da derivada (derivada da soma = soma das derivadas) obtemos
\bigl(F\cdot G\bigr)' = \bigl(f_1 g_1\bigr)'+\bigl(f_2 g_2\bigr)'+\bigl(f_3 g_3\bigr)'.
Agora aplicamos a regra do produto para cada termo escalar: \bigl(f_i g_i\bigr)'=f_i' g_i + f_i g_i'. Assim
\bigl(F\cdot G\bigr)' = \bigl(f_1' g_1 + f_1 g_1'\bigr) +\bigl(f_2' g_2 + f_2 g_2'\bigr) +\bigl(f_3' g_3 + f_3 g_3'\bigr).
Agrupando os termos com derivadas em f_i' e com derivadas em g_i' obtemos
\bigl(F\cdot G\bigr)' = \bigl(f_1' g_1 + f_2' g_2 + f_3' g_3\bigr) +\bigl(f_1 g_1' + f_2 g_2' + f_3 g_3'\bigr).
Mas essas somas são exatamente os produtos escalares F'(t)\cdot G(t) e F(t)\cdot G'(t), pois
F'(t)=(f_1'(t),f_2'(t),f_3'(t)),\qquad G'(t)=(g_1'(t),g_2'(t),g_3'(t)).
Portanto concluímos
\bigl(F(t)\cdot G(t)\bigr)'=F'(t)\cdot G(t)+F(t)\cdot G'(t),
que é a identidade pedida no item (a).

Passo 4

Preparação para (b): expressar a norma em termos do produto escalar e usar a regra da cadeia.
Lembrando que a norma Euclidiana satisfaz \|F(t)\|=\sqrt{F(t)\cdot F(t)}. Definimos a função auxiliar escalar
u(t)=F(t)\cdot F(t).
Então \|F(t)\|=\sqrt{u(t)}=u(t)^{1/2}. Vou aplicar a regra da cadeia à função composta u^{1/2}\circ u.

Passo 5

Calcular u'(t) usando o resultado de (a) aplicado a F consigo mesma:
u'(t)=\bigl(F(t)\cdot F(t)\bigr)'.
Pelo item (a) com G=F, tem-se
u'(t)=F'(t)\cdot F(t)+F(t)\cdot F'(t).
Como o produto escalar é comutativo ( a\cdot b=b\cdot a), os dois termos são iguais, então
u'(t)=2\,F(t)\cdot F'(t).
Observe que essas manipulações são todas para funções escalares, usando propriedades do produto escalar.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para \|F(t)\|=u(t)^{1/2}.
A derivada de u^{1/2} em relação a t é
\bigl(u(t)^{1/2}\bigr)'=\tfrac{1}{2}u(t)^{-1/2}\,u'(t).
Substituindo u'(t)=2\,F(t)\cdot F'(t) e u(t)^{1/2}=\|F(t)\|, obtemos
\bigl(\|F(t)\|\bigr)'=\tfrac{1}{2}\,u(t)^{-1/2}\cdot 2\,F(t)\cdot F'(t) = \frac{F(t)\cdot F'(t)}{\|F(t)\|}.
A hipótese F(t)\neq(0,0,0) garante que \|F(t)\|\neq 0, portanto a divisão é válida. Isso completa a demonstração do item (b).

Passo 7

Comentário prático e exemplo rápido (para fixar): suponha F(t)=(t,\,t^2,\,1). Então
F'(t)=(1,\,2t,\,0),\qquad F(t)\cdot F'(t)=t\cdot1 + t^2\cdot 2t + 1\cdot0 = t + 2t^3.
A norma é \|F(t)\|=\sqrt{t^2+t^4+1}. Pela fórmula do item (b),
\bigl(\|F(t)\|\bigr)'=\frac{t+2t^3}{\sqrt{t^2+t^4+1}}.
Isso mostra como aplicar as fórmulas na prática.

Resposta

(a) \bigl(F(t)\cdot G(t)\bigr)'=F'(t)\cdot G(t)+F(t)\cdot G'(t)
(b) \bigl(\|F(t)\|\bigr)'=\dfrac{F(t)\cdot F'(t)}{\|F(t)\|}

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