- Seja
. Verifique que
.
Como
resulta
ou seja,
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (lista clara do que foi informado e do que se pede):
- Informação:
. - Pedido 1: Verificar que
. - Informação adicional no enunciado (texto fornecido): há demonstrações de derivadas por regra da cadeia e uma expressão final
- Pedido 2 (implícito pela presença dessa expressão): entender e verificar como se chega a essa fórmula (vou explicitar para qual função
essa fórmula é verdadeira).
Passo 2
Vamos calcular
para
usando a regra do poder (power rule). Primeiro reescrever a função numa forma mais conveniente:
Explicando a regra do poder (aqui é uma mini-aula): para qualquer expoente real
, a derivada de
em relação a
é
Nessa fórmula,
é a variável independente e
é o expoente. Por exemplo, se
então
. Aqui usamos exatamente essa regra com
.
Aplicando a regra:
Se preferir em forma de fração:
Passo 3
Agora substituímos
e
na expressão que queremos verificar:
Substituindo os valores encontrados:
Desenvolvendo passo a passo:
e
Somando:
Portanto
o que verifica a identidade pedida.
Passo 4
Comentário pedagógico curto sobre o que foi feito: reescrevemos
como potência
, usamos a regra do poder
para obter
, e então substituímos e simplificamos. Sempre que vir funções do tipo
é esse o caminho mais direto numa prova — reescrever como potência e aplicar a regra do poder.
Passo 5
Agora trato do trecho sobre derivadas em relação a
(regra da cadeia e segunda derivada). Primeiro explico a regra da cadeia de forma simples: se
depende de
e
depende de
, então a derivada de
em relação a
é
Aqui
é a taxa de variação de
quando
varia, e
é a taxa de variação de
quando
varia. Multiplicando, obtém-se a taxa de
em relação a
.
Passo 6
Verifico a igualdade fornecida por separado: a expressão
corresponde à segunda derivada temporal de
quando
. Vou demonstrar isso passo a passo.
Se
e
, então primeiro:
Agora aplicamos a derivada em
novamente (segunda derivada). Temos um produto
por
, então usamos a regra do produto: se
então
.
Aqui
e
. Calculamos:
e
Aplicando a regra do produto:
Simplificando o primeiro termo:
Logo obtemos
que é exatamente a expressão fornecida — mas atenção: ela é verdadeira para
, não para
.
Passo 7
Para evitar confusão final, mostro também rapidamente o caso em que
(pois o enunciado tinha a expressão
antes): se
então
e
Ou seja, para
a segunda derivada tem a forma
Resumo rápido: a expressão dada no enunciado com coeficientes
e
corresponde a
; a expressão para
tem coeficientes
e
.