1. Seja y=\frac{1}{x^{2}}. Verifique que x \frac{d y}{d x}+2 y=0.
Como
\frac{d}{d t}\left(3 x^{2}\right)=\frac{d}{d x}\left[3 x^{2}\right] \frac{d x}{d t}=6 x \frac{d x}{d t} \text { e } \frac{d}{d t}\left(\frac{d x}{d t}\right)=\frac{d^{2} x}{d t^{2}}
resulta
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=6 x \frac{d x}{d t} \frac{d x}{d t}+3 x^{2} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}
ou seja,
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=6 x\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+3 x^{2} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} .

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (lista clara do que foi informado e do que se pede):
  • Informação: y=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • Pedido 1: Verificar que \;x\,\dfrac{d y}{d x}+2y=0.
  • Informação adicional no enunciado (texto fornecido): há demonstrações de derivadas por regra da cadeia e uma expressão final
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=6x\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+3x^{2}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
  • Pedido 2 (implícito pela presença dessa expressão): entender e verificar como se chega a essa fórmula (vou explicitar para qual função y essa fórmula é verdadeira).

Passo 2

Vamos calcular \dfrac{dy}{dx} para y=\dfrac{1}{x^{2}} usando a regra do poder (power rule). Primeiro reescrever a função numa forma mais conveniente:
y = \dfrac{1}{x^{2}} = x^{-2}.
Explicando a regra do poder (aqui é uma mini-aula): para qualquer expoente real n, a derivada de x^{n} em relação a x é
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big) = n\,x^{n-1}.
Nessa fórmula, x é a variável independente e n é o expoente. Por exemplo, se n=3 então \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}. Aqui usamos exatamente essa regra com n=-2.
Aplicando a regra:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\big(x^{-2}\big) = -2\,x^{-3}.
Se preferir em forma de fração:
\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{x^{3}}.

Passo 3

Agora substituímos \dfrac{dy}{dx} e y na expressão que queremos verificar:
x\,\frac{dy}{dx}+2y
Substituindo os valores encontrados:
x\left(-2x^{-3}\right)+2\left(x^{-2}\right).
Desenvolvendo passo a passo:
x\left(-2x^{-3}\right) = -2x^{-2},
e
2\left(x^{-2}\right)=2x^{-2}.
Somando:
-2x^{-2}+2x^{-2}=0.
Portanto
x\,\frac{dy}{dx}+2y=0,
o que verifica a identidade pedida.

Passo 4

Comentário pedagógico curto sobre o que foi feito: reescrevemos y como potência x^{-2}, usamos a regra do poder \dfrac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1} para obter \dfrac{dy}{dx}, e então substituímos e simplificamos. Sempre que vir funções do tipo x^{n} é esse o caminho mais direto numa prova — reescrever como potência e aplicar a regra do poder.

Passo 5

Agora trato do trecho sobre derivadas em relação a t (regra da cadeia e segunda derivada). Primeiro explico a regra da cadeia de forma simples: se y depende de x e x depende de t, então a derivada de y em relação a t é
\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Aqui \dfrac{dy}{dx} é a taxa de variação de y quando x varia, e \dfrac{dx}{dt} é a taxa de variação de x quando t varia. Multiplicando, obtém-se a taxa de y em relação a t.

Passo 6

Verifico a igualdade fornecida por separado: a expressão
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=6x\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+3x^{2}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}
corresponde à segunda derivada temporal de y quando y=x^{3}. Vou demonstrar isso passo a passo.
Se y=x^{3} e x=x(t), então primeiro:
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(x^{3}\big)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)\frac{dx}{dt}=3x^{2}\frac{dx}{dt}.
Agora aplicamos a derivada em t novamente (segunda derivada). Temos um produto 3x^{2} por \dfrac{dx}{dt}, então usamos a regra do produto: se u(t)v(t) então \dfrac{d}{dt}(uv)=u'\,v+u\,v'.
Aqui u(t)=3x^{2} e v(t)=\dfrac{dx}{dt}. Calculamos:
\frac{d}{dt}\big(3x^{2}\big)=\frac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)\frac{dx}{dt}=6x\frac{dx}{dt},
e
\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\big(3x^{2}\frac{dx}{dt}\big) = \big(6x\frac{dx}{dt}\big)\frac{dx}{dt} + 3x^{2}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Simplificando o primeiro termo:
\big(6x\frac{dx}{dt}\big)\frac{dx}{dt}=6x\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}.
Logo obtemos
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=6x\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+3x^{2}\frac{d^{2}x}{dt^{2}},
que é exatamente a expressão fornecida — mas atenção: ela é verdadeira para y=x^{3}, não para y=\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 7

Para evitar confusão final, mostro também rapidamente o caso em que y=3x^{2} (pois o enunciado tinha a expressão \dfrac{d}{dt}(3x^{2}) antes): se y=3x^{2} então
\frac{dy}{dt}=6x\frac{dx}{dt},
e
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\big(6x\frac{dx}{dt}\big)=6\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+6x\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Ou seja, para y=3x^{2} a segunda derivada tem a forma
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=6\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+6x\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Resumo rápido: a expressão dada no enunciado com coeficientes 6x e 3x^{2} corresponde a y=x^{3}; a expressão para y=3x^{2} tem coeficientes 6 e 6x.

Resposta

x\dfrac{dy}{dx}+2y=0 (verificado para y=\dfrac{1}{x^{2}}).
\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}=6x\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+3x^{2}\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} (esta identidade corresponde a y=x^{3}).

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