Seja y=t^{2} x, em que x=x(t) é uma função derivável. Calcule \left.\frac{d y}{d t}\right|_{t=1} supondo \left.\frac{d x}{d t}\right|_{t=1}=2 e x=3 para t=1 (isto é, x(1)=3 ).
Passo 1
O enunciado dá a função y=t^{2}x, em que x=x(t) é uma função derivável de t. Pede-se para calcular \left.\dfrac{dy}{dt}\right|_{t=1} sabendo que \left.\dfrac{dx}{dt}\right|_{t=1}=2 e que x(1)=3.
Informações relevantes fornecidas:
A relação entre y, t e x é y=t^{2}x(t).
\left.\dfrac{dx}{dt}\right|_{t=1}=2.
x(1)=3.
Quer-se \left.\dfrac{dy}{dt}\right|_{t=1}.
Passo 2
Para diferenciar y em relação a t quando y é produto de duas funções de t, usa-se a regra do produto. Ensinando a regra do produto de forma simples:
Sejam u(t) e v(t) duas funções diferenciáveis. A derivada do produto é
Aqui u'(t) significa \dfrac{du}{dt} e v'(t) significa \dfrac{dv}{dt}. A ideia intuitiva: a taxa de variação do produto tem duas parcelas — a variação de u mantendo v fixo mais a variação de v mantendo u fixo.
Também precisamos do caso simples da regra da potência: para u(t)=t^{n} com n inteiro positivo,
\frac{d}{dt}\big(t^{n}\big)=n\,t^{n-1}.
No caso n=2, isso dá \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t.
Passo 3
Vamos aplicar a regra do produto a y=t^{2}\cdot x(t). Tomando u(t)=t^{2} e v(t)=x(t), a regra do produto dá: