1. Seja y=t^{2} x, em que x=x(t) é uma função derivável. Calcule \left.\frac{d y}{d t}\right|_{t=1} supondo \left.\frac{d x}{d t}\right|_{t=1}=2 e x=3 para t=1 (isto é, x(1)=3 ).

Passo 1

O enunciado dá a função y=t^{2}x, em que x=x(t) é uma função derivável de t. Pede-se para calcular \left.\dfrac{dy}{dt}\right|_{t=1} sabendo que \left.\dfrac{dx}{dt}\right|_{t=1}=2 e que x(1)=3.
Informações relevantes fornecidas:
  • A relação entre y, t e x é y=t^{2}x(t).
  • \left.\dfrac{dx}{dt}\right|_{t=1}=2.
  • x(1)=3.
  • Quer-se \left.\dfrac{dy}{dt}\right|_{t=1}.

Passo 2

Para diferenciar y em relação a t quando y é produto de duas funções de t, usa-se a regra do produto. Ensinando a regra do produto de forma simples:
Sejam u(t) e v(t) duas funções diferenciáveis. A derivada do produto é
\frac{d}{dt}\big(u(t)v(t)\big)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Aqui u'(t) significa \dfrac{du}{dt} e v'(t) significa \dfrac{dv}{dt}. A ideia intuitiva: a taxa de variação do produto tem duas parcelas — a variação de u mantendo v fixo mais a variação de v mantendo u fixo.
Também precisamos do caso simples da regra da potência: para u(t)=t^{n} com n inteiro positivo,
\frac{d}{dt}\big(t^{n}\big)=n\,t^{n-1}.
No caso n=2, isso dá \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t.

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto a y=t^{2}\cdot x(t). Tomando u(t)=t^{2} e v(t)=x(t), a regra do produto dá:
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(t^{2}\big)\cdot x(t)+t^{2}\cdot\frac{dx}{dt}.

Passo 4

Usando a regra da potência para \dfrac{d}{dt}(t^{2}), obtemos
\frac{d}{dt}\big(t^{2}\big)=2t.
Substituindo isso em \dfrac{dy}{dt} obtemos a expressão geral
\frac{dy}{dt}=2t\;x(t)+t^{2}\;x'(t),
onde x'(t)=\dfrac{dx}{dt}.

Passo 5

Agora avaliamos a expressão em t=1. Substituindo t=1, x(1)=3 e x'(1)=2, temos
\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=1}=2\cdot 1\cdot x(1)+1^{2}\cdot x'(1)=2\cdot 1\cdot 3 + 1\cdot 2.
Calculando passo a passo:
2\cdot 1\cdot 3 = 6,\qquad 1\cdot 2 = 2,
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\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=1}=6+2=8.

Resposta

8

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