Suponha que f:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} seja uma função tal que \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=L, em que L \in \mathbb{R}. Prove que \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Há uma função f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}.
  • Sabe-se que \displaystyle \lim_{x\to+\infty} x f(x)=L, com L\in\mathbb{R}.
O que se pede:
  • Provar que \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=0.
Ideia intuitiva (sem formalizar ainda): se x f(x) tende a um número finito L quando x cresce sem limite, então f(x) deve decair ao menos na ordem de 1/x. Como 1/x\to0 quando x\to\infty, isso sugere que f(x)\to0. Agora vamos transformar essa ideia em uma prova rigorosa usando a definição de limite e uma observação prática: uma função que converge (a um número finito) é, a partir de algum ponto, limitada.

Passo 2

Mostrar que x f(x) é limitadamente acotada para x suficientemente grandes.
Como \displaystyle \lim_{x\to+\infty} x f(x)=L, existe N>1 tal que, para todo x>N,
\lvert x f(x) - L\rvert < 1.
Então, para x>N,
\lvert x f(x)\rvert \le \lvert x f(x)-L\rvert + \lvert L\rvert < 1 + \lvert L\rvert.
Defina M := 1 + \lvert L\rvert. Assim, para todo x>N vale
\lvert x f(x)\rvert \le M.

Passo 3

Obter uma desigualdade para \lvert f(x)\rvert e usar isso para concluir o limite.
Para x>N temos, dividindo a desigualdade anterior por x>0,
\lvert f(x)\rvert = \frac{\lvert x f(x)\rvert}{x} \le \frac{M}{x}.
Agora, \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{M}{x}=0. Usando essa desigualdade e o argumento \varepsilon- N (ou o Teorema do Sanduíche), conclui-se que f(x)\to0.
Formalizando em estilo \varepsilon- N: seja \varepsilon>0. Como temos M>0, escolha
X := \max\!\left\{N,\; \frac{M}{\varepsilon}\right\}.
Então, para todo x>X temos x>N (logo \lvert x f(x)\rvert\le M) e x>\dfrac{M}{\varepsilon} (logo \dfrac{M}{x}<\varepsilon). Portanto, para x>X,
\lvert f(x)\rvert \le \frac{M}{x} < \varepsilon.
Isto mostra, pela definição de limite, que \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=0.

Passo 4

Comentário final e exemplo rápido: a chave foi perceber que a convergência de x f(x) a um valor finito implica que x f(x) fica limitada para x grandes; então f(x) é majorada por uma constante dividida por x, e essa quantidade tende a zero. Por exemplo, se \lim_{x\to\infty} x f(x)=5, então para x grande tem \lvert f(x)\rvert \le C/x com C próximo de 6, e C/x\to0.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=0

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