Suponha que
seja uma função tal que
, em que
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Há uma função
. - Sabe-se que
, com .
O que se pede:
- Provar que
.
Ideia intuitiva (sem formalizar ainda): se
tende a um número finito
quando
cresce sem limite, então
deve decair ao menos na ordem de
. Como
quando
, isso sugere que
. Agora vamos transformar essa ideia em uma prova rigorosa usando a definição de limite e uma observação prática: uma função que converge (a um número finito) é, a partir de algum ponto, limitada.
Passo 2
Mostrar que
é limitadamente acotada para
suficientemente grandes.
Como
, existe
tal que, para todo
,
Então, para
,
Defina
. Assim, para todo
vale
Passo 3
Obter uma desigualdade para
e usar isso para concluir o limite.
Para
temos, dividindo a desigualdade anterior por
,
Agora,
. Usando essa desigualdade e o argumento
-
(ou o Teorema do Sanduíche), conclui-se que
.
Formalizando em estilo
-
: seja
. Como temos
, escolha
Então, para todo
temos
(logo
) e
(logo
). Portanto, para
,
Isto mostra, pela definição de limite, que
.
Passo 4
Comentário final e exemplo rápido: a chave foi perceber que a convergência de
a um valor finito implica que
fica limitada para
grandes; então
é majorada por uma constante dividida por
, e essa quantidade tende a zero. Por exemplo, se
, então para
grande tem
com
próximo de
, e
.