Suponha que
seja uma função tal que
, se
. Prove que, pela definição,
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A função
tem domínio . - Para todo
em , vale .
O que o enunciado pede:
- Provar, pela definição (isto é, usando a definição
- de limite), que
Passo 2
Recordando a definição de limite que vamos usar (explicada com calma):
- Dizemos que
se, para todo dado, existe tal que, sempre que satisfaz (ou seja, diferente de e suficientemente próximo de ), então . - Aqui
é um número pequeno que representa “quão perto” queremos que esteja de , e é a tolerância no que garante essa proximidade. - Nosso objetivo é escolher uma relação
válida para todo que prove que é, de fato, o limite.
Passo 3
Primeiro fazemos a manipulação algébrica que sugere qual
escolher. Calculamos a diferença entre
e o candidato
:
Como
, temos
Fatorando:
Essa igualdade é a chave: a distância entre
e
é exatamente
vezes a distância entre
e
.
Passo 4
A partir da relação
escolhemos
em função de
para garantir
. Queremos que
Isto é equivalente a
Portanto uma escolha natural e eficaz é
Note que, para qualquer
, temos
, como exige a definição.
Passo 5
Agora montamos a prova formal
-
usando a escolha
:
Seja
arbitrário. Defina
. Seja
tal que
. Então, pelas contas do Passo 3,
Isto mostra que sempre que
temos
. Como a escolha de
era arbitrária, concluímos pela definição que
Passo 6
Comentário intuitivo e um exemplo numérico para fixar a ideia:
- Intuitivamente, a função é uma reta
. Se aproximarmos de , se aproxima do valor . A prova - formaliza essa ideia mostrando que pequenas variações em (da ordem de ) produzem variações em duas vezes maiores (da ordem de ), por isso precisa ser . - Exemplo numérico: se quisermos que
esteja a menos de de , então escolhemos . Assim, sempre que teremos .