Suponha que f: \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R} seja uma função tal que f(x)=2 x-5, se x \in \operatorname{Dom}(f). Prove que, pela definição, \lim _{x \rightarrow 2} f(x)=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A função f tem domínio \mathbb{R}-\{2\}.
  • Para todo x em \operatorname{Dom}(f), vale f(x)=2x-5.
O que o enunciado pede:
  • Provar, pela definição (isto é, usando a definição \varepsilon- \delta de limite), que
\lim_{x\to 2} f(x) = -1.

Passo 2

Recordando a definição de limite que vamos usar (explicada com calma):
  • Dizemos que \lim_{x\to 2} f(x)=L se, para todo \varepsilon>0 dado, existe \delta>0 tal que, sempre que x satisfaz 0<|x-2|<\delta (ou seja, x diferente de 2 e suficientemente próximo de 2), então |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Aqui \varepsilon é um número pequeno que representa “quão perto” queremos que f(x) esteja de L, e \delta é a tolerância no x que garante essa proximidade.
  • Nosso objetivo é escolher uma relação \delta=\delta(\varepsilon) válida para todo \varepsilon>0 que prove que L=-1 é, de fato, o limite.

Passo 3

Primeiro fazemos a manipulação algébrica que sugere qual \delta escolher. Calculamos a diferença entre f(x) e o candidato L=-1:
|f(x)-(-1)| = |f(x)+1|.
Como f(x)=2x-5, temos
|f(x)+1| = |2x-5+1| = |2x-4|.
Fatorando:
|2x-4| = 2|x-2|.
Essa igualdade é a chave: a distância entre f(x) e -1 é exatamente 2 vezes a distância entre x e 2.

Passo 4

A partir da relação |f(x)+1|=2|x-2| escolhemos \delta em função de \varepsilon para garantir |f(x)+1|<\varepsilon. Queremos que
2|x-2| < \varepsilon.
Isto é equivalente a
|x-2| < \frac{\varepsilon}{2}.
Portanto uma escolha natural e eficaz é
\delta = \frac{\varepsilon}{2}.
Note que, para qualquer \varepsilon>0, temos \delta>0, como exige a definição.

Passo 5

Agora montamos a prova formal \varepsilon- \delta usando a escolha \delta=\varepsilon/2:
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Defina \delta=\dfrac{\varepsilon}{2}. Seja x tal que 0<|x-2|<\delta. Então, pelas contas do Passo 3,
|f(x)-(-1)| = 2|x-2| < 2\delta = 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Isto mostra que sempre que 0<|x-2|<\delta temos |f(x)+1|<\varepsilon. Como a escolha de \varepsilon>0 era arbitrária, concluímos pela definição que
\lim_{x\to 2} f(x) = -1.

Passo 6

Comentário intuitivo e um exemplo numérico para fixar a ideia:
  • Intuitivamente, a função é uma reta f(x)=2x-5. Se aproximarmos x de 2, f(x) se aproxima do valor 2\cdot 2-5=-1. A prova \varepsilon- \delta formaliza essa ideia mostrando que pequenas variações em x (da ordem de \delta) produzem variações em f(x) duas vezes maiores (da ordem de 2\delta), por isso \delta precisa ser \varepsilon/2.
  • Exemplo numérico: se quisermos que f(x) esteja a menos de \varepsilon=0{,}1 de -1, então escolhemos \delta=0{,}05. Assim, sempre que 0<|x-2|<0{,}05 teremos |f(x)+1|<0{,}1.

Resposta

-1

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