Suponha que
seja uma função tal que
, se
. Prove que, pela definição,
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A função
é definida por em (ou seja, em todos os reais exceto ). - Pede-se para provar, usando a definição clássica de limite (epsilon‑delta), que
.
O que precisamos demonstrar exatamente:
- Mostrar que, para todo
, existe tal que, sempre que (e portanto ), vale .
Passo 2
Recordando a definição formal de limite (uma mini‑aula): dizer que
significa:
Aqui
é a precisão desejada no valor de
em relação a
, e
é a distância ao redor de
que garante essa precisão. Nosso objetivo é, dado um
arbitrário, encontrar uma regra que escolha um
apropriado e provar que ela funciona.
Passo 3
Vamos manipular a expressão
para ver como controlar esse valor em função de
.
Factorizando a diferença de quadrados:
Portanto precisamos controlar o produto
. O fator
é pequeno quando
está perto de
; o desafio é controlar o outro fator
por uma constante quando
está suficientemente perto de
.
Passo 4
Escolha prática para controlar
: é comum restringir
para ser no máximo
. Se impusermos
então
está em um intervalo aberto centrado em
de raio
, isto é
. Para tais
temos:
onde usamos a desigualdade triangular
. Assim, sempre que
obtemos o majorante
Passo 5
Usando a estimativa do passo anterior, quando
vale
Queremos que isso seja
. Uma forma simples de garantir isso é pedir
Portanto, se assegurarmos simultaneamente
e
, teremos
.
Passo 6
Definição explícita de
em função de
: tome
Agora a prova final e formal: seja
dado. Escolha
como acima. Então, se
, temos duas coisas:
- Como
, segue e, pelo passo 4, . - Como
, segue .
Combinação:
Assim, sempre que
obtemos
. Isso é exatamente a condição da definição de limite. Portanto
.