Suponha que f^{\prime}(a)=0. Liste e descreva três possibilidades geométricas distintas para o ponto (a, f(a)) no gráfico de f (ex.: máximo local, mínimo local, ponto de inflexão horizontal, etc.).

Passo 1

O enunciado dá apenas a informação de que f'(a)=0. A tarefa é listar e descrever três possibilidades geométricas distintas para o ponto (a,f(a)) no gráfico de f. Informação relevante fornecida:
  • Derivada em a é zero: f'(a)=0.
  • Não há outras informações sobre f (continuidade, segunda derivada, comportamento ao redor, etc.).
    O pedido: apresentar três tipos geométricos distintos que podem acontecer em (a,f(a)) quando a tangente é horizontal.

Passo 2

O que significa f'(a)=0 geometricamente?
  • A derivada f'(x) mede a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x.
  • Logo, f'(a)=0 significa que a reta tangente em (a,f(a)) é horizontal. Em palavras: o ponto é um ponto estacionário (ou crítico) com tangente horizontal.
    Isso não diz se o ponto é máximo, mínimo ou outra coisa: só garante que a reta tangente é horizontal. Para distinguir os casos precisamos olhar o comportamento de f perto de a (sinais de f' ao redor, ou o valor de f''(a) quando existir).

Passo 3

Possibilidade 1 — Mínimo local. Descrição e como reconhecer na prova.
  • Definição geométrica: (a,f(a)) é um mínimo local se existir um intervalo (a-\delta,a+\delta) tal que para todo x nesse intervalo vale f(x)\ge f(a) (com igualdade apenas em x=a se for mínimo estrito). Em termos de gráfico: o ponto é o fundo da “tigela” local; a tangente é horizontal e o gráfico sobe para os dois lados.
  • Testes usuais:
    • Teste da primeira derivada: se f'(x)<0 para x<a e f'(x)>0 para x>a, então a é mínimo local (derivada muda de negativa para positiva).
    • Teste da segunda derivada: se f''(a)>0 (quando f''(a) existe), então a é mínimo local.
  • Exemplo simples e exercício para a prova: f(x)=(x-a)^2. f'(x)=2(x-a),\qquad f'(a)=0,
f''(x)=2,\qquad f''(a)=2>0,
portanto (a,f(a)) é um mínimo local. Visualize uma parábola virada para cima com vértice em (a,0).

Passo 4

Possibilidade 2 — Máximo local. Descrição e como reconhecer na prova.
  • Definição geométrica: (a,f(a)) é um máximo local se existir \delta>0 tal que para todo x\in(a-\delta,a+\delta) vale f(x)\le f(a). Geometricamente: o ponto é o topo da “colina” local; a tangente é horizontal e o gráfico desce para os dois lados.
  • Testes usuais:
    • Teste da primeira derivada: se f'(x)>0 para x<a e f'(x)<0 para x>a, então a é máximo local (derivada muda de positiva para negativa).
    • Teste da segunda derivada: se f''(a)<0, então a é máximo local.
  • Exemplo simples: f(x)=-(x-a)^2. f'(x)=-2(x-a),\qquad f'(a)=0,
f''(x)=-2,\qquad f''(a)=-2<0,
logo (a,f(a)) é um máximo local. Imagine uma parábola virada para baixo com vértice em (a,0).

Passo 5

Possibilidade 3 — Ponto de inflexão com tangente horizontal (ponto estacionário sem extremo). Descrição e como reconhecer na prova.
  • Definição geométrica: (a,f(a)) é um ponto de inflexão se a concavidade de f muda de um lado para o outro de a (isto é, f''(x) troca de sinal atravessando a). Se além disso f'(a)=0, a tangente é horizontal nesse ponto — chama-se frequentemente “ponto de inflexão horizontal” ou “ponto crítico de inflexão”. Nesse caso não há máximo nem mínimo local: o gráfico passa de curvar para cima para curvar para baixo (ou vice‑versa) atravessando um ponto com tangente horizontal.
  • Características para identificar:
    • Teste da primeira derivada: a derivada pode não trocar de sinal (por exemplo pode ficar sempre não negativa), então o teste da primeira derivada identifica ausência de mudança de sinal e, portanto, ausência de extremo.
    • Teste da segunda derivada: normalmente f''(a)=0 (se existir) e é necessário verificar se f'' muda de sinal. Se f''(a)=0 e não há troca de sinal, não é inflexão; se troca, é inflexão.
  • Exemplo clássico: f(x)=(x-a)^3. f'(x)=3(x-a)^2,\qquad f'(a)=0,
f''(x)=6(x-a),\qquad f''(a)=0,
e f''(x) é negativa para x<a e positiva para x>a (troca de sinal), portanto há mudança de concavidade e (a,f(a)) é um ponto de inflexão com tangente horizontal. No gráfico vê‑se a curva atravessando horizontalmente sem formar topo ou fundo.

Passo 6

Receita prática rápida para usar na prova (passos a executar quando encontrar f'(a)=0):
  1. Calcule f''(a) (se existir).
    • Se f''(a)>0 → mínimo local.
    • Se f''(a)<0 → máximo local.
    • Se f''(a)=0 → inconclusivo: verificar comportamento de f'' nos lados ou usar a primeira derivada ou série de Taylor/higher‑order derivatives.
  2. Alternativa (às vezes mais robusta): analisar o sinal de f'(x) para x<a e x>a.
    • f' troca de sinal de − para + → mínimo.
    • f' troca de sinal de + para − → máximo.
    • f' não troca de sinal → não é extremo; verificar se é ponto de inflexão (concavidade troca de sinal) ou outro caso (ex.: ponto de inflexão sem troca de sinal de f', ou ponto em um platô).
  3. Cuidado com casos degenerados: se f'(x)=0 em um intervalo (função constante localmente), então cada ponto desse intervalo é simultaneamente máximo e mínimo local (trivialmente), mas esse é um caso especial e facilmente detectável.

Passo 7

Resumo didático e empurrãozinho motivacional:
  • Ter f'(a)=0 é só a primeira pista: tangente horizontal. Para saber se é topo, fundo ou simples “ponto plano”, faça o teste da segunda derivada e/ou observe o sinal de f' ao redor.
  • Exemplos que decoram bem e aparecem em provas: (x-a)^2 (mínimo), -(x-a)^2 (máximo), (x-a)^3 (inflexão horizontal). Treina esses três na cabeça — ajudam muito na hora da prova. Você consegue!

Resposta

Máximo local
Mínimo local
Ponto de inflexão com tangente horizontal (ponto estacionário sem extremo)

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