Suponha que f(x)=0.5 \cos (x); para -\pi / 2<x<\pi / 2. Determine as seguintes probabilidades:
P(X<-\pi / 4);

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de probabilidade
f(x)=0{,}5\cos(x),\qquad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}.
A tarefa é calcular a probabilidade
P\bigl(X<-\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Informações relevantes que já temos:
  • A função está definida apenas no intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).
  • Para uma variável contínua, probabilidades são áreas sob a curva da densidade (integral da densidade sobre o intervalo de interesse).

Passo 2

Vamos verificar rapidamente que f é uma densidade válida (isso dá segurança na conta): uma densidade deve integrar 1 em todo o seu domínio. Calculamos
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 0{,}5\cos(x)\,dx.
A primitiva de \cos(x) é \sin(x), logo a primitiva de 0{,}5\cos(x) é 0{,}5\sin(x). Avaliando em -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}
0{,}5\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr)=0{,}5(1-(-1))=0{,}5\cdot2=1.
Portanto f está normalizada corretamente.

Passo 3

Como X é contínua,
P\bigl(X<-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}} 0{,}5\cos(x)\,dx.
Calculamos a integral usando a primitiva 0{,}5\sin(x):
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}} 0{,}5\cos(x)\,dx =0{,}5\bigl(\sin(-\tfrac{\pi}{4})-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr).

Passo 4

Agora substituímos os valores conhecidos das funções seno:
\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1.
Então
0{,}5\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}-(-1)\Bigr) =0{,}5\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\Bigr) =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}.
Podemos escrever de forma compacta como
\frac{2-\sqrt{2}}{4}.

Passo 5

Interpretação rápida e número aproximado: a probabilidade é relativamente pequena porque -\tfrac{\pi}{4} está perto do limite esquerdo do suporte. Numericamente
\frac{2-\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}1464.

Resposta

\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}

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