Suponha que
; para
. Determine as seguintes probabilidades:
Determine
tal que
.
Determine
Passo 1
O enunciado dá a densidade de probabilidade
e pede encontrar o valor de
tal que
Informações relevantes dadas:
- A função densidade é
no intervalo . - A probabilidade acumulada até
é . - Quer-se
que satisfaça .
Passo 2
Verificar que
é de fato uma densidade (isso ajuda a entender o que vamos integrar). Uma função
é densidade se é não-negativa no suporte e sua integral sobre o suporte vale 1.
Calculemos a integral de
sobre
:
Como
e
, segue
Logo
é uma densidade válida.
Passo 3
Construir a função de distribuição acumulada
. Para
no suporte,
Calcule a integral:
Como
, obtemos
Isso faz sentido: para
temos
0 e para
temos
.
Passo 4
Resolver a equação
. Substituindo a expressão de
:
Multiplicando por
:
Isolando
:
Passo 5
Resolver
no domínio
. Nesse intervalo a função
é estritamente crescente e a inversa
dá exatamente uma solução. Portanto
Essa é a solução única no suporte dado.
Passo 6
Dar uma aproximação numérica (se for permitido usar calculadora): o valor aproximado é
Se preferir em graus,
.