Suponha que f(x)=0.5 \cos (x); para -\pi / 2<x<\pi / 2. Determine as seguintes probabilidades:
Determine x tal que P(X<x)=0.95.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade
f(x)=0{,}5\cos(x),\qquad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2},
e pede encontrar o valor de x tal que
P(X<x)=0{,}95.
Informações relevantes dadas:
  • A função densidade é f(x)=0{,}5\cos(x) no intervalo \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).
  • A probabilidade acumulada até x é P(X<x)=F(x).
  • Quer-se x que satisfaça F(x)=0{,}95.

Passo 2

Verificar que f é de fato uma densidade (isso ajuda a entender o que vamos integrar). Uma função f é densidade se é não-negativa no suporte e sua integral sobre o suporte vale 1.
Calculemos a integral de f sobre \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right):
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 0{,}5\cos x\,dx = 0{,}5\left[\sin x\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} =0{,}5\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr).
Como \sin(\tfrac{\pi}{2})=1 e \sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1, segue
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 0{,}5\cos x\,dx = 0{,}5(1-(-1))=0{,}5\cdot 2=1.
Logo f é uma densidade válida.

Passo 3

Construir a função de distribuição acumulada F(x)=P(X<x). Para x no suporte,
F(x)=\int_{-\pi/2}^{x} 0{,}5\cos t\,dt.
Calcule a integral:
F(x)=0{,}5\left[\sin t\right]_{-\pi/2}^{x}=0{,}5\bigl(\sin x-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr).
Como \sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1, obtemos
F(x)=0{,}5(\sin x+1)=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\sin x\bigr).
Isso faz sentido: para x=-\tfrac{\pi}{2} temos F=-0 e para x=\tfrac{\pi}{2} temos F=1.

Passo 4

Resolver a equação F(x)=0{,}95. Substituindo a expressão de F:
\tfrac{1}{2}\bigl(1+\sin x\bigr)=0{,}95.
Multiplicando por 2:
1+\sin x=1{,}9.
Isolando \sin x:
\sin x=1{,}9-1=0{,}9.

Passo 5

Resolver \sin x=0{,}9 no domínio \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Nesse intervalo a função \sin x é estritamente crescente e a inversa \arcsin dá exatamente uma solução. Portanto
x=\arcsin(0{,}9).
Essa é a solução única no suporte dado.

Passo 6

Dar uma aproximação numérica (se for permitido usar calculadora): o valor aproximado é
x=\arcsin(0{,}9)\approx 1{,}1198\\ \text{rad}.
Se preferir em graus, 1{,}1198\\ \text{rad}\approx 64{,}16^\circ.

Resposta

x=\arcsin(0{,}9)\approx 1{,}1198\\ \text{rad}

Exercícios relacionados