Suponha que f(x)=0.5 \cos (x); para -\pi / 2<x<\pi / 2. Determine as seguintes probabilidades:
P(X>-\pi / 4);

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de probabilidade
f(x)=0{,}5\cos(x),\qquad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}.
A pergunta é: determinar a probabilidade
P\!\left(X> -\frac{\pi}{4}\right).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função f(x) está definida apenas no intervalo \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).
  • O valor de f(x) é 0{,}5\cos(x) dentro desse intervalo.
  • Não há massa de probabilidade fora desse intervalo (presumimos f(x)=0 para x fora dele).

Passo 2

Antes de usar f como densidade, é bom confirmar duas coisas que toda densidade deve satisfazer:
  1. f(x)\ge 0 para todo x no domínio; 2) a integral de f no domínio é 1.
  2. Sobre a não negatividade: no intervalo \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) temos \cos(x)\ge 0. Como 0{,}5>0, segue que f(x)=0{,}5\cos(x)\ge 0 nesse intervalo.
  3. Verificar a normalização:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 0{,}5\cos(x)\,dx.
A primitiva de \cos(x) é \sin(x). Então
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 0{,}5\cos(x)\,dx =0{,}5\bigl[\sin(x)\bigr]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =0{,}5\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr).
Como \sin(\tfrac{\pi}{2})=1 e \sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1, obtemos
0{,}5(1-(-1))=0{,}5\cdot 2=1.
Portanto f é uma densidade válida.

Passo 3

Para calcular probabilidades usamos a função de distribuição acumulada (CDF)
F(x)=P(X\le x)=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{x} f(t)\,dt.
Vou calcular F(x) explicitamente. Substituindo f(t)=0{,}5\cos(t),
F(x)=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{x} 0{,}5\cos(t)\,dt =0{,}5\bigl[\sin(t)\bigr]_{-\frac{\pi}{2}}^{x} =0{,}5\bigl(\sin(x)-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr).
Como \sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1, isso fica
F(x)=0{,}5\bigl(\sin(x)+1\bigr).
Essa fórmula vale para todo x dentro do intervalo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] (fora do intervalo a CDF é 0 para x\le -\tfrac{\pi}{2} e 1 para x\ge \tfrac{\pi}{2}).

Passo 4

A probabilidade pedida é
P\!\left(X> -\frac{\pi}{4}\right)=1-P\!\left(X\le -\frac{\pi}{4}\right)=1-F\!\left(-\frac{\pi}{4}\right).
Usando a expressão de F,
F\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0{,}5\bigl(\sin(-\tfrac{\pi}{4})+1\bigr).
Sabemos que \sin(-\tfrac{\pi}{4})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim
F\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0{,}5\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\Bigr) = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}.
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P\!\left(X> -\frac{\pi}{4}\right)=1-\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}\Bigr) =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}.

Passo 5

Como checagem alternativa — às vezes útil na prova — podemos calcular a mesma probabilidade integrando diretamente a densidade no intervalo solicitado:
P\!\left(X> -\frac{\pi}{4}\right)=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} 0{,}5\cos(x)\,dx =0{,}5\bigl[\sin(x)\bigr]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} =0{,}5\Bigl(1-(-\tfrac{\sqrt{2}}{2})\Bigr) = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4},
confirmando o resultado anterior. Em forma decimal aproximada,
\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}8536.

Resposta

P\!\left(X> -\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}8536

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