Suponha que
; para
. Determine as seguintes probabilidades:
;
Passo 1
O enunciado nos dá a densidade de probabilidade
A pergunta é: determinar a probabilidade
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função
está definida apenas no intervalo . - O valor de
é dentro desse intervalo. - Não há massa de probabilidade fora desse intervalo (presumimos
para fora dele).
Passo 2
Antes de usar
como densidade, é bom confirmar duas coisas que toda densidade deve satisfazer:
-
para todo no domínio; 2) a integral de no domínio é . -
Sobre a não negatividade: no intervalo
temos . Como , segue que nesse intervalo. -
Verificar a normalização:
A primitiva de
é
. Então
Como
e
, obtemos
Portanto
é uma densidade válida.
Passo 3
Para calcular probabilidades usamos a função de distribuição acumulada (CDF)
Vou calcular
explicitamente. Substituindo
,
Como
, isso fica
Essa fórmula vale para todo
dentro do intervalo
(fora do intervalo a CDF é
para
e
para
).
Passo 4
A probabilidade pedida é
Usando a expressão de
,
Sabemos que
. Assim
Logo
Passo 5
Como checagem alternativa — às vezes útil na prova — podemos calcular a mesma probabilidade integrando diretamente a densidade no intervalo solicitado:
confirmando o resultado anterior. Em forma decimal aproximada,