Suponha f(x)>0 para todo x \neq 2 e f(2)=-3. Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações abaixo, justificando caso ela seja verdadeira ou apresentando um contra-exemplo caso seja falsa.
(a) \lim _{x \rightarrow 2} f(x) não existe.
(b) \lim _{x \rightarrow 2} f(x)=-3.
(c) Se existir, \lim _{x \rightarrow 2} f(x) é positivo.
Passo 1
O enunciado define uma função f tal que
f(x)>0 para todo x\neq 2,
f(2)=-3.
Precisamos decidir a veracidade dos itens:
(a) \lim_{x\to2}f(x) não existe.
(b) \lim_{x\to2}f(x)=-3.
(c) Se existir, \lim_{x\to2}f(x) é positivo.
O conteúdo é de limite de função e contra-exemplos.
Passo 2
Construímos um contra-exemplo que satisfaça as hipóteses e tenha limite claro. Defina
Aqui vemos que para todo x\neq 2 vale (x-2)^2>0 e f(2)=-3, conforme exigido.
Passo 3
Calculamos o limite quando x\to2 usando continuidade da função quadrática em x\neq2:
\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}(x-2)^2=0.
Passo 4
Com esse contra-exemplo temos:
(a) Falsa. O limite existe e vale 0.
(b) Falsa. O limite não é -3, mas sim 0.
(c) Falsa. O limite existe, mas é 0, que não é um número estritamente positivo.