Verifique a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando métodos adequados (teste da comparação, razão, raiz, integral, Leibniz, etc - Escolher 6.): \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n}
que é uma série de termos positivos. O conteúdo envolve séries numéricas e usaremos seis métodos diferentes: teste da série geométrica, teste da razão, teste da raiz, teste de comparação direta, teste de comparação na forma limite e teste da integral.
Passo 2
Teste da série geométrica
Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n}
e converge se |r|<1. Aqui a=1 e r=\tfrac{3}{4}, logo \bigl|\tfrac{3}{4}\bigr|<1. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n}
converge por ser geométrica com razão \tfrac{3}{4}.
Sabemos que \sum_{n=1}^\infty\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{n-1} é geométrica com razão \tfrac{3}{4}<1 e, portanto, converge. Como 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge, por comparação direta \sum a_n também converge.
Passo 6
Teste de comparação na forma limite
Escolhemos b_{n}=\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}, cuja série converge \tfrac12<1. Calculamos