Verifique a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando métodos adequados (teste da comparação, razão, raiz, integral, Leibniz, etc - Escolher 6.):
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n}
que é uma série de termos positivos. O conteúdo envolve séries numéricas e usaremos seis métodos diferentes: teste da série geométrica, teste da razão, teste da raiz, teste de comparação direta, teste de comparação na forma limite e teste da integral.

Passo 2

Teste da série geométrica
Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n}
e converge se |r|<1. Aqui a=1 e r=\tfrac{3}{4}, logo \bigl|\tfrac{3}{4}\bigr|<1. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n}
converge por ser geométrica com razão \tfrac{3}{4}.

Passo 3

Teste da razão
Aplicamos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \quad\text{com}\quad a_{n}=\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{n}.
Calculando,
L=\lim_{n\to\infty}\frac{\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{n+1}}{\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{n}} =\frac{3}{4}.
Como L=\tfrac{3}{4}<1, a série converge pelo teste da razão.

Passo 4

Teste da raiz
Usamos
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} \quad\text{com}\quad a_{n}=\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{n}.
Temos
\sqrt[n]{a_{n}} =\sqrt[n]{\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{n}} =\frac{3}{4},
logo
L=\frac{3}{4}<1,
e a série converge pelo teste da raiz.

Passo 5

Teste de comparação direta
Para todo n\ge1 vale
0\le\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{n}\le\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{n-1}.
Sabemos que \sum_{n=1}^\infty\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{n-1} é geométrica com razão \tfrac{3}{4}<1 e, portanto, converge. Como 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge, por comparação direta \sum a_n também converge.

Passo 6

Teste de comparação na forma limite
Escolhemos b_{n}=\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}, cuja série converge \tfrac12<1. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty} \frac{\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{n}}{\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{3/4}{1/2}\Bigr)^{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{n}=\infty.
Este limite não é finito, mas podemos trocar b_n por \bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^n. Então
\lim_{n\to\infty} \frac{\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{n}}{\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^{n}} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{3/4}{4/5}\Bigr)^{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{15}{16}\Bigr)^{n}=0.
Como 0<\lim a_{n}/b_{n}<\infty e \sum b_{n} converge \tfrac{4}{5}<1, concluímos que \sum a_{n} converge pelo teste de comparação na forma limite.

Passo 7

Teste da integral
Definimos a função contínua e decrescente
f(x)=\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{x},\quad x\ge1.
Analisamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{x}dx =\left[\frac{\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{x}}{\ln(\tfrac{3}{4})}\right]_{1}^{\infty} =\frac{0-\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)}{\ln(\tfrac{3}{4})} <\infty.
Como a integral converge, a série \sum_{n=1}^{\infty}f(n) converge pelo teste da integral.

Resposta

A série converge.

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