Verifique a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando métodos adequados (teste da comparação, razão, raiz, integral, Leibniz, etc - Escolher 6.):
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n)}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n^{2}}.
Como os sinais de \sin(n) oscilam sem padrão alternado fixo, o mais direto é testar a convergência absoluta usando comparação com uma série-p.

Passo 2

Note que para todo n vale
|\sin(n)| \le 1.
Logo cada termo satisfaz
\frac{|\sin(n)|}{n^2}\le \frac{1}{n^2}.

Passo 3

Sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}
é convergente, pois é uma série- p com p=2>1.

Passo 4

Pelo teste de comparação, como \displaystyle 0\le \frac{|\sin(n)|}{n^2}\le \frac{1}{n^2} e \sum1/n^2 converge, segue que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin(n)|}{n^2}
também converge. Portanto a série original converge absolutamente, e logo converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n^{2}} converge absolutamente (e, consequentemente, converge).

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