Suponha que temos quatro cofres, cada um com 2 gavetas. Os cofres 1 e 2, têm uma moeda de ouro em uma gaveta e uma de prata na outra. O cofre 3, tem duas moedas de ouro e, o cofre 4 tem duas de prata. Escolhe-se um cofre ao acaso, abre-se uma gaveta e encontra-se uma moeda de ouro. Determine a probabilidade de que a outra gaveta contenha:
a) Uma moeda de prata;
b) Uma moeda de ouro.
a) Uma moeda de prata;
b) Uma moeda de ouro.
Passo 1
Resumindo, há quatro cofres com duas gavetas cada:
– Cofre 1 e Cofre 2 têm uma moeda de ouro e outra de prata.
– Cofre 3 tem duas moedas de ouro.
– Cofre 4 tem duas moedas de prata.
Escolhe-se um cofre ao acaso e uma gaveta ao acaso, obtendo-se uma moeda de ouro. Queremos a probabilidade de que a outra gaveta desse mesmo cofre tenha (a) prata e (b) ouro. O conteúdo usado será probabilidade condicionada e o Teorema de Bayes.
– Cofre 1 e Cofre 2 têm uma moeda de ouro e outra de prata.
– Cofre 3 tem duas moedas de ouro.
– Cofre 4 tem duas moedas de prata.
Escolhe-se um cofre ao acaso e uma gaveta ao acaso, obtendo-se uma moeda de ouro. Queremos a probabilidade de que a outra gaveta desse mesmo cofre tenha (a) prata e (b) ouro. O conteúdo usado será probabilidade condicionada e o Teorema de Bayes.
Passo 2
Denotemos por
o evento “escolher o cofre
” e por
o evento “a gaveta aberta revela ouro”. Como a escolha do cofre e da gaveta é uniforme,
Passo 3
Para cada cofre, calculamos a probabilidade de obter ouro ao abrir uma gaveta:
Passo 4
A probabilidade total de ver ouro é
Passo 5
Pelo Teorema de Bayes,
Logo
Passo 6
A outra gaveta é prata exatamente se o cofre for o 1 ou o 2. Então
Passo 7
A outra gaveta é ouro apenas no cofre 3. Portanto
Resposta
a)
b)
b)