Suponha que temos quatro cofres, cada um com 2 gavetas. Os cofres 1 e 2, têm uma moeda de ouro em uma gaveta e uma de prata na outra. O cofre 3, tem duas moedas de ouro e, o cofre 4 tem duas de prata. Escolhe-se um cofre ao acaso, abre-se uma gaveta e encontra-se uma moeda de ouro. Determine a probabilidade de que a outra gaveta contenha:
a) Uma moeda de prata;
b) Uma moeda de ouro.

Passo 1

Resumindo, há quatro cofres com duas gavetas cada:
– Cofre 1 e Cofre 2 têm uma moeda de ouro e outra de prata.
– Cofre 3 tem duas moedas de ouro.
– Cofre 4 tem duas moedas de prata.
Escolhe-se um cofre ao acaso e uma gaveta ao acaso, obtendo-se uma moeda de ouro. Queremos a probabilidade de que a outra gaveta desse mesmo cofre tenha (a) prata e (b) ouro. O conteúdo usado será probabilidade condicionada e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Denotemos por C_i o evento “escolher o cofre i” e por G o evento “a gaveta aberta revela ouro”. Como a escolha do cofre e da gaveta é uniforme,
P(C_i)=\tfrac14,\quad i=1,2,3,4.

Passo 3

Para cada cofre, calculamos a probabilidade de obter ouro ao abrir uma gaveta:
P(G\mid C_1)=\tfrac12,\quad P(G\mid C_2)=\tfrac12,\quad P(G\mid C_3)=1,\quad P(G\mid C_4)=0.

Passo 4

A probabilidade total de ver ouro é
P(G) =\sum_{i=1}^{4}P(C_i)\,P(G\mid C_i) =\tfrac14\bigl(\tfrac12+\tfrac12+1+0\bigr) =\tfrac12.

Passo 5

Pelo Teorema de Bayes,
P(C_i\mid G) =\frac{P(C_i)\,P(G\mid C_i)}{P(G)}.
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P(C_1\mid G)=\tfrac14,\quad P(C_2\mid G)=\tfrac14,\quad P(C_3\mid G)=\tfrac12,\quad P(C_4\mid G)=0.

Passo 6

A outra gaveta é prata exatamente se o cofre for o 1 ou o 2. Então
P(\text{prata na outra gaveta}\mid G) =P(C_1\mid G)+P(C_2\mid G) =\tfrac14+\tfrac14 =\tfrac12.

Passo 7

A outra gaveta é ouro apenas no cofre 3. Portanto
P(\text{ouro na outra gaveta}\mid G) =P(C_3\mid G) =\tfrac12.

Resposta

a) \tfrac12
b) \tfrac12

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