Suponha que um fabricante de sorvetes receba
de todo o leite que utiliza de uma fazenda
de outra fazenda
e
de
. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que
do leite produzido por
estava adulterado por adição de água, enquanto que para
e
, essa proporção era de
e
, respectivamente. Em uma indústria de sorvetes, os galões são armazenados em um refrigerador sem qualquer identificação das fazendas. Um galão de leite foi escolhido aleatoriamente e verificou-se que estava adulterado. Qual a probabilidade de que o leite tenha sido fornecido pela fazenda:
a)
b)
c)
.
a)
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que um galão adulterado de leite tenha vindo de cada uma das fazendas
. As informações fornecidas são:
- Fração do leite que vem de
: . - Fração do leite que vem de
: . - Fração do leite que vem de
: . - Proporção de leite adulterado em
: . - Proporção de leite adulterado em
: . - Proporção de leite adulterado em
: .
O que se pergunta é, dado que um galão escolhido aleatoriamente está adulterado (evento
), qual é
,
e
.
Passo 2
Vou explicar a fórmula que vamos usar (passo-a-passo, como se fosse uma aula curta e prática).
Quando queremos a probabilidade de uma causa
sabendo que ocorreu um efeito
, usamos a regra de Bayes:
Aqui cada termo significa:
-
: probabilidade procurada (a chance de ser a origem dado que o galão está adulterado). -
: probabilidade de o leite estar adulterado supondo que veio de (dada pelo enunciado). -
: probabilidade de um galão aleatório ter vindo de (dada pelo enunciado). -
: probabilidade total de um galão estar adulterado (independente da fazenda). Essa é calculada somando as contribuições de todas as fazendas (lei da probabilidade total):
Intuição rápida (útil na prova): imagine 1000 galões no refrigerador; aproximadamente quantos adulterados cada fazenda fornece? Isso ajuda a ver de onde vêm a maioria dos galões adulterados.
Passo 3
Calcular
pela lei da probabilidade total usando os dados do enunciado:
Substituindo os valores:
Agora faço as multiplicações:
Somando:
Ou seja, a probabilidade de um galão escolhido ao acaso estar adulterado é
(ou
). (Se preferir a intuição dos 1000 galões: seriam cerca de
adulterados de
,
de
e
de
, total
adulterados.)
Passo 4
Calcular
usando Bayes:
Para simplificar a fração:
. Em decimal:
Passo 5
Calcular
:
Simplificando:
. Em decimal:
Passo 6
Calcular
:
Simplificando:
. Em decimal:
Passo 7
Interpretação rápida e encorajamento: os cálculos mostram que, embora
forneça só
do leite, sua taxa de adulteração alta faz com que a maior parte dos galões adulterados venham dela. Isso é exatamente o tipo de pergunta em que Bayes brilha — junta a proporção de fonte com a probabilidade condicional de defeito. Vai dar bom na prova, respira e repete esse raciocínio em mais exercícios!