Suponha que um fabricante de sorvetes receba 20 \% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F_{1}, 30 \% de outra fazenda F_{2} e 50 \% de F_{3}. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20 \% do leite produzido por F_{1} estava adulterado por adição de água, enquanto que para F_{2} e F_{3}, essa proporção era de 5 \% e 2 \%, respectivamente. Em uma indústria de sorvetes, os galões são armazenados em um refrigerador sem qualquer identificação das fazendas. Um galão de leite foi escolhido aleatoriamente e verificou-se que estava adulterado. Qual a probabilidade de que o leite tenha sido fornecido pela fazenda:
a) F_{1} ?(\mathrm{R}: 0,615) b) F_{2} ?(\mathrm{R}: 0,231) c) F_{3} ?(\mathrm{R}: 0,154).

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que um galão adulterado de leite tenha vindo de cada uma das fazendas F_{1},F_{2},F_{3}. As informações fornecidas são:
  • Fração do leite que vem de F_{1}: P(F_{1})=0,20.
  • Fração do leite que vem de F_{2}: P(F_{2})=0,30.
  • Fração do leite que vem de F_{3}: P(F_{3})=0,50.
  • Proporção de leite adulterado em F_{1}: P(A\mid F_{1})=0,20.
  • Proporção de leite adulterado em F_{2}: P(A\mid F_{2})=0,05.
  • Proporção de leite adulterado em F_{3}: P(A\mid F_{3})=0,02.
O que se pergunta é, dado que um galão escolhido aleatoriamente está adulterado (evento A), qual é P(F_{1}\mid A), P(F_{2}\mid A) e P(F_{3}\mid A).

Passo 2

Vou explicar a fórmula que vamos usar (passo-a-passo, como se fosse uma aula curta e prática).
Quando queremos a probabilidade de uma causa F_{i} sabendo que ocorreu um efeito A, usamos a regra de Bayes:
P(F_{i}\mid A)=\frac{P(A\mid F_{i})\,P(F_{i})}{P(A)}.
Aqui cada termo significa:
  • P(F_{i}\mid A): probabilidade procurada (a chance de F_{i} ser a origem dado que o galão está adulterado).
  • P(A\mid F_{i}): probabilidade de o leite estar adulterado supondo que veio de F_{i} (dada pelo enunciado).
  • P(F_{i}): probabilidade de um galão aleatório ter vindo de F_{i} (dada pelo enunciado).
  • P(A): probabilidade total de um galão estar adulterado (independente da fazenda). Essa P(A) é calculada somando as contribuições de todas as fazendas (lei da probabilidade total):
P(A)=\sum_{j=1}^{3} P(A\mid F_{j})\,P(F_{j}).
Intuição rápida (útil na prova): imagine 1000 galões no refrigerador; aproximadamente quantos adulterados cada fazenda fornece? Isso ajuda a ver de onde vêm a maioria dos galões adulterados.

Passo 3

Calcular P(A) pela lei da probabilidade total usando os dados do enunciado:
P(A)=P(A\mid F_{1})P(F_{1})+P(A\mid F_{2})P(F_{2})+P(A\mid F_{3})P(F_{3}).
Substituindo os valores:
P(A)=0,20\cdot 0,20 + 0,05\cdot 0,30 + 0,02\cdot 0,50.
Agora faço as multiplicações:
0,20\cdot 0,20 = 0,040, \qquad 0,05\cdot 0,30 = 0,015, \qquad 0,02\cdot 0,50 = 0,010.
Somando:
P(A)=0,040 + 0,015 + 0,010 = 0,065.
Ou seja, a probabilidade de um galão escolhido ao acaso estar adulterado é P(A)=0,065 (ou 6{,}5\%). (Se preferir a intuição dos 1000 galões: seriam cerca de 40 adulterados de F_{1}, 15 de F_{2} e 10 de F_{3}, total 65 adulterados.)

Passo 4

Calcular P(F_{1}\mid A) usando Bayes:
P(F_{1}\mid A)=\frac{P(A\mid F_{1})P(F_{1})}{P(A)}=\frac{0,20\cdot 0,20}{0,065}=\frac{0,040}{0,065}.
Para simplificar a fração: 0,040/0,065 = 40/65 = 8/13. Em decimal:
P(F_{1}\mid A)=\frac{8}{13}\approx 0,6153846\approx 0,615.

Passo 5

Calcular P(F_{2}\mid A):
P(F_{2}\mid A)=\frac{P(A\mid F_{2})P(F_{2})}{P(A)}=\frac{0,05\cdot 0,30}{0,065}=\frac{0,015}{0,065}.
Simplificando: 0,015/0,065 = 15/65 = 3/13. Em decimal:
P(F_{2}\mid A)=\frac{3}{13}\approx 0,230769\approx 0,231.

Passo 6

Calcular P(F_{3}\mid A):
P(F_{3}\mid A)=\frac{P(A\mid F_{3})P(F_{3})}{P(A)}=\frac{0,02\cdot 0,50}{0,065}=\frac{0,010}{0,065}.
Simplificando: 0,010/0,065 = 10/65 = 2/13. Em decimal:
P(F_{3}\mid A)=\frac{2}{13}\approx 0,153846\approx 0,154.

Passo 7

Interpretação rápida e encorajamento: os cálculos mostram que, embora F_{1} forneça só 20\% do leite, sua taxa de adulteração alta faz com que a maior parte dos galões adulterados venham dela. Isso é exatamente o tipo de pergunta em que Bayes brilha — junta a proporção de fonte com a probabilidade condicional de defeito. Vai dar bom na prova, respira e repete esse raciocínio em mais exercícios!

Resposta

P(F_{1}\mid A)=0,615
P(F_{2}\mid A)=0,231
P(F_{3}\mid A)=0,154

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