Uma caixa contém 7 bolas pretas numeradas de 1 a 7 , sete bolas brancas numeradas de 1 a 7 e seis bolas vermelhas numeradas de 1 a 6 .
Sorteando-se uma bola preta, qual é a probabilidade de tal bola ser par?
Sorteando-se uma bola preta, qual é a probabilidade de tal bola ser par?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
bolas pretas numeradas de a . - Há
bolas brancas numeradas de a . - Há
bolas vermelhas numeradas de a .
O que o problema pergunta:
- Ao sortear-se uma bola preta, qual é a probabilidade de essa bola ser par? Em outras palavras, queremos a probabilidade condicional de ser par dado que a bola é preta.
Passo 2
Assunção natural (usada em problemas desse tipo): cada bola da caixa é igualmente provável de ser escolhida. Definimos dois eventos:
-
= “a bola sorteada é preta”. -
= “a bola sorteada é par”.
O que se pede é a probabilidade condicional
, ou seja a probabilidade de
sabendo que
ocorreu.
Passo 3
Método por contagem (o mais direto aqui). Quando condicionamos a bola a ser preta, o universo reduz-se apenas às bolas pretas. Quantos elementos tem esse universo?
- Número de bolas pretas:
.
Agora contamos quantas dessas pretas são pares. As bolas pretas têm números
. Os números pares nesse conjunto são
, ou seja, há
bolas pretas pares.
Passo 4
Para eventos discretos com resultados igualmente prováveis, a probabilidade condicional
é simplesmente
Aplicando os contagens que obtivemos:
Passo 5
Verificação alternativa (útil para aprender): calcular via probabilidades marginais. Total de bolas na caixa:
Probabilidade de tirar uma bola preta:
Probabilidade de tirar uma bola que seja simultaneamente preta e par:
Então
confirmando o resultado.
Passo 6
Interpretação rápida e dica de prova: quando há a condição “sendo que” (aqui, “sendo que a bola é preta”), conte só os casos dentro da condição (todas as bolas pretas) e divida o número de casos favoráveis (pretas pares) pelo número total de casos da condição (todas as pretas). Isso evita confusão.