Uma caixa contém 7 bolas pretas numeradas de 1 a 7 , sete bolas brancas numeradas de 1 a 7 e seis bolas vermelhas numeradas de 1 a 6 .
Sorteando-se uma bola preta, qual é a probabilidade de tal bola ser par?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \,7\, bolas pretas numeradas de 1 a 7.
  • \,7\, bolas brancas numeradas de 1 a 7.
  • \,6\, bolas vermelhas numeradas de 1 a 6.
O que o problema pergunta:
  • Ao sortear-se uma bola preta, qual é a probabilidade de essa bola ser par? Em outras palavras, queremos a probabilidade condicional de ser par dado que a bola é preta.

Passo 2

Assunção natural (usada em problemas desse tipo): cada bola da caixa é igualmente provável de ser escolhida. Definimos dois eventos:
  • B = “a bola sorteada é preta”.
  • E = “a bola sorteada é par”.
O que se pede é a probabilidade condicional \,P(E\mid B)\,, ou seja a probabilidade de E sabendo que B ocorreu.

Passo 3

Método por contagem (o mais direto aqui). Quando condicionamos a bola a ser preta, o universo reduz-se apenas às bolas pretas. Quantos elementos tem esse universo?
  • Número de bolas pretas: \,7\,.
Agora contamos quantas dessas pretas são pares. As bolas pretas têm números \{1,2,3,4,5,6,7\}. Os números pares nesse conjunto são \{2,4,6\}, ou seja, há \,3\, bolas pretas pares.

Passo 4

Para eventos discretos com resultados igualmente prováveis, a probabilidade condicional \,P(E\mid B)\, é simplesmente
P(E\mid B)=\frac{\text{nº de resultados em que \(B\) e \(E\) ocorrem}}{\text{nº de resultados em que \(B\) ocorre}}.ºº
Aplicando os contagens que obtivemos:
P(E\mid B)=\frac{3}{7}.

Passo 5

Verificação alternativa (útil para aprender): calcular via probabilidades marginais. Total de bolas na caixa:
7+7+6=20.
Probabilidade de tirar uma bola preta:
P(B)=\frac{7}{20}.
Probabilidade de tirar uma bola que seja simultaneamente preta e par:
P(E\cap B)=\frac{3}{20}.
Então
P(E\mid B)=\frac{P(E\cap B)}{P(B)}=\frac{\tfrac{3}{20}}{\tfrac{7}{20}}=\frac{3}{7},
confirmando o resultado.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: quando há a condição “sendo que” (aqui, “sendo que a bola é preta”), conte só os casos dentro da condição (todas as bolas pretas) e divida o número de casos favoráveis (pretas pares) pelo número total de casos da condição (todas as pretas). Isso evita confusão.

Resposta

\dfrac{3}{7}

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