Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda
de uma outra fazenda
e o restante de uma fazenda
.Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que
do leite produzido por
estava adulterado por adição de água, enquanto que para
e
, essa proporção era de
e
, respectivamente. Na indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados
em um refrigerador se identificação das fazendas. Um galão escolhido ao acaso, e a sua analise mostra que o leite foi adulterado. Calcule a chance deste galão ser proveniente da fazenda
.
em um refrigerador se identificação das fazendas. Um galão escolhido ao acaso, e a sua analise mostra que o leite foi adulterado. Calcule a chance deste galão ser proveniente da fazenda
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre a probabilidade condicional, que é basicamente a chance de um evento acontecer dado que outro já ocorreu. Aqui, temos três fazendas que fornecem leite para uma fábrica de sorvetes, cada uma com uma porcentagem diferente de fornecimento e diferentes taxas de adulteração do leite. Nosso objetivo é descobrir qual a chance de um galão adulterado ter vindo da fazenda $ F_{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que temos:
-
Distribuição do leite pelas fazendas:
- $ F_{1} $ fornece 20% do leite.
- $ F_{2} $ fornece 30% do leite.
- $ F_{3} $ fornece o restante, que são 50%.
-
Taxas de adulteração:
- $ F_{1} $: 20% do leite está adulterado.
- $ F_{2} $: 5% do leite está adulterado.
- $ F_{3} $: 2% do leite está adulterado.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade condicional de que o galão adulterado venha da fazenda $ F_{2} $. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a atualizar as probabilidades com base em novas informações.
A fórmula do Teorema de Bayes é:
Onde:
- $ P(F_{2} | Adulterado) $ é a probabilidade de o galão ser da fazenda $ F_{2} $ dado que está adulterado.
- $ P(Adulterado | F_{2}) $ é a probabilidade de o galão estar adulterado vindo da fazenda $ F_{2} $.
- $ P(F_{2}) $ é a probabilidade de o galão vir da fazenda $ F_{2} $.
- $ P(Adulterado) $ é a probabilidade total de um galão estar adulterado.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
-
Probabilidade de vir da fazenda $ F_{2} $:
-
Probabilidade de estar adulterado vindo da fazenda $ F_{2} $:
-
Probabilidade total de um galão estar adulterado ($ P(Adulterado) $):Isso inclui todas as maneiras pelas quais um galão pode estar adulterado, ou seja, vindo de qualquer uma das três fazendas e estar adulterado.Substituindo os valores:Calculando cada parte:
Passo 5
Agora, voltando ao Teorema de Bayes, substituímos os valores que calculamos:
Isso significa que a chance é de aproximadamente 23,08%.
Resposta
A chance do galão adulterado ser proveniente da fazenda $ F_{2} $ é de aproximadamente 23,08%.