Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F1, 30 % de uma outra fazenda F2 e o restante de uma fazenda F3.Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20 % do leite produzido por F1 estava adulterado por adição de água, enquanto que para F2 e F3, essa proporção era de 5 % e 2 %, respectivamente. Na indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados
em um refrigerador se identificação das fazendas. Um galão escolhido ao acaso, e a sua analise mostra que o leite foi adulterado. Calcule a chance deste galão ser proveniente da fazenda F2.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre a probabilidade condicional, que é basicamente a chance de um evento acontecer dado que outro já ocorreu. Aqui, temos três fazendas que fornecem leite para uma fábrica de sorvetes, cada uma com uma porcentagem diferente de fornecimento e diferentes taxas de adulteração do leite. Nosso objetivo é descobrir qual a chance de um galão adulterado ter vindo da fazenda $ F_{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Distribuição do leite pelas fazendas:
    • $ F_{1} $ fornece 20% do leite.
    • $ F_{2} $ fornece 30% do leite.
    • $ F_{3} $ fornece o restante, que são 50%.
  • Taxas de adulteração:
    • $ F_{1} $: 20% do leite está adulterado.
    • $ F_{2} $: 5% do leite está adulterado.
    • $ F_{3} $: 2% do leite está adulterado.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade condicional de que o galão adulterado venha da fazenda $ F_{2} $. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a atualizar as probabilidades com base em novas informações.
A fórmula do Teorema de Bayes é:
F2
Onde:
  • $ P(F_{2} | Adulterado) $ é a probabilidade de o galão ser da fazenda $ F_{2} $ dado que está adulterado.
  • $ P(Adulterado | F_{2}) $ é a probabilidade de o galão estar adulterado vindo da fazenda $ F_{2} $.
  • $ P(F_{2}) $ é a probabilidade de o galão vir da fazenda $ F_{2} $.
  • $ P(Adulterado) $ é a probabilidade total de um galão estar adulterado.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Probabilidade de vir da fazenda $ F_{2} $:
    F2
  2. Probabilidade de estar adulterado vindo da fazenda $ F_{2} $:
    P(F2) = 30% = 0,3
  3. Probabilidade total de um galão estar adulterado ($ P(Adulterado) $):
    Isso inclui todas as maneiras pelas quais um galão pode estar adulterado, ou seja, vindo de qualquer uma das três fazendas e estar adulterado.
    F2
    Substituindo os valores:
    P(Adu
    Calculando cada parte:
    P(Adu

Passo 5

Agora, voltando ao Teorema de Bayes, substituímos os valores que calculamos:
P(F2 | Adu
Isso significa que a chance é de aproximadamente 23,08%.

Resposta

A chance do galão adulterado ser proveniente da fazenda $ F_{2} $ é de aproximadamente 23,08%.

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