O setor de tornearia de uma fábrica dispõe de três tornos. A probabilidade de um torno necessitar de reparos em um dia de operação é de 5%. Estando em reparo, este torno tem probabilidade de 25 % voltar a funcionar no dia seguinte. A operação diária com um torno gera um lucro de 200 [R$]. Estando em reparo, gera uma despesa de ] Estando em reparo, >=ra uma despesa de ao dia. Responda as questőes a seguir ( 2,5 pontos):
Calcular o lucro médio diário e a despesa média diária no setor de tornearia.
Nota: As operaçőes com matrizes deverảo ser realizadas manualmente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma fábrica com três tornos. Cada torno tem 5% de chance de precisar de reparo em um dia. Se estiver em reparo, tem 25% de chance de voltar a funcionar no dia seguinte. Quando um torno está operando, ele gera um lucro de R$200 por dia, e se está em reparo, gera uma despesa de R$250 por dia. Nosso objetivo é calcular o lucro médio diário e a despesa média diária nesse setor de tornearia.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de teoria de cadeias de Markov, que é uma maneira de modelar sistemas que transitam de um estado para outro com certas probabilidades. Também vamos usar matrizes para representar essas transições e calcular os estados estacionários, ou seja, as probabilidades de cada estado no longo prazo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os estados possíveis para um torno:
  • Operando (O)
  • Em Reparo ®
Sabemos que a probabilidade de um torno precisar de reparo em um dia é de 5%, ou seja, $ P(O \rightarrow R) = 0,05 $. Isso significa que a probabilidade de continuar operando no dia seguinte é de $ P(O \rightarrow O) = 1 - 0,05 = 0,95 $.
Se o torno está em reparo, a probabilidade de voltar a funcionar no dia seguinte é de 25%, ou seja, $ P(R \rightarrow O) = 0,25 $. Assim, a probabilidade de continuar em reparo é de $ P(R \rightarrow R) = 1 - 0,25 = 0,75 $.

Passo 3

Vamos montar a matriz de transição $ P $ com essas probabilidades:

$$
P = P

P = P(O O) & P(O R) P(R O) & P(R R) = 0,95 & 0,05 0,25 & 0,75
$$
Essa matriz nos ajuda a entender como as probabilidades de cada estado mudam de um dia para o outro.

Passo 4

Agora, queremos encontrar o vetor de estados estacionários $ \pi = [\pi_O \quad \pi_R] $, onde $ \pi_O $ é a probabilidade de um torno estar operando no longo prazo e $ \pi_R $ é a probabilidade de estar em reparo.
Para encontrar $ \pi $, usamos a equação $ \pi P = \pi $ e a condição $ \pi_O + \pi_R = 1 $.
Escrevendo as equações:
pi = [piO piR]
piO
piR

Passo 5

Simplificando a primeira equação:
0,95piO + 0,25piR = piO 0,95piO - piO + 0,25piR = 0 -0,05piO + 0,25piR = 0 0,25piR = 0,05piO piR = 0,050,25piO piR = 0,2piO
Agora, usando a condição $ \pi_O + \pi_R = 1 $:
piO + piR = 1
Então,
piO + 0,2piO = 1 1,2piO = 1 piO = 11,2 piO approx 0,8333

Passo 6

Agora que temos as probabilidades estacionárias:
piO approx 0,8333 piR approx 0,1667
Isso significa que, em média, um torno está operando cerca de 83,33% do tempo e em reparo cerca de 16,67% do tempo.

Passo 7

Como temos três tornos independentes, podemos calcular o lucro e a despesa média diária multiplicando pelas probabilidades e pelo número de tornos.
Primeiro, o lucro médio diário por torno operando:
Lucro por torno = piO times R$200 = 0,8333 times 200 approx R$166,67
Para três tornos:
Lucro total = 3 times 166,67 approx R$500,00

Passo 8

Agora, a despesa média diária por torno em reparo:
Despesa por torno = piR times R$250 = 0,1667 times 250 approx R$41,67
Para três tornos:
Despesa total = 3 times 41,67 approx R$125,00

Resposta

O lucro médio diário no setor de tornearia é de aproximadamente R$500,00 e a despesa média diária é de aproximadamente R$125,00.

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