Suponha que
e
, onde
e
. Determine:
(a)
(b)
(c)a derivada direcional de
em
na direção e sentido da origem.
(a)
(b)
(c)a derivada direcional de
Passo 1
O enunciado diz que, no ponto
, as derivadas direcionais de
nas direções unitárias
são
Queremos encontrar as componentes do gradiente
e, em seguida, a derivada direcional na direção do vetor que aponta de
para a origem.
Passo 2
Lembrando que a derivada direcional em direção de um vetor unitário
é
podemos traduzir as informações dadas em duas equações lineares:
Passo 3
Multiplicamos cada equação por
Agora resolvemos o sistema. Por exemplo, multiplicando a primeira por
e somando, obtemos
Substituindo de volta em
:
Passo 4
Para a derivada direcional de
em
na direção que aponta para a origem, consideramos o vetor
. O correspondente vetor unitário é
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Resposta
(a)
(b)
(c) derivada direcional na direção da origem: .
(b)
(c) derivada direcional na direção da origem: