Suponha que \frac{\partial \mathrm{f}}{\partial u}(1,2)=-5 e \frac{\partial \mathrm{f}}{\partial v}(1,2)=10, onde u=\left(\frac{3}{4},-\frac{4}{5}\right) e v=\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right). Determine:
(a) f_{x}(1,2)
(b) f_{y}(1,2)
(c)a derivada direcional de f em (1,2) na direção e sentido da origem.

Passo 1

O enunciado diz que, no ponto (1,2), as derivadas direcionais de f nas direções unitárias
u=\Bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\Bigr) \quad\text{e}\quad v=\Bigl(\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\Bigr)
são
\frac{\partial f}{\partial u}(1,2) = -5 \quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial v}(1,2) = 10.
Queremos encontrar as componentes do gradiente
\nabla f(1,2) = \bigl(f_x(1,2),\,f_y(1,2)\bigr) e, em seguida, a derivada direcional na direção do vetor que aponta de (1,2) para a origem.

Passo 2

Lembrando que a derivada direcional em direção de um vetor unitário w=(w_1,w_2) é
D_w f(1,2) = \nabla f(1,2) \cdot w = f_x(1,2)\,w_1 + f_y(1,2)\,w_2,
podemos traduzir as informações dadas em duas equações lineares:
\begin{cases} f_x \cdot \tfrac{3}{5} \; + \; f_y \cdot \tfrac{4}{5} = -5,\\[6pt] f_x \cdot \tfrac{4}{5} \; + \; f_y \cdot \bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr) = 10. \end{cases}]

Passo 3

Multiplicamos cada equação por 5\) para eliminar os denominadores: \[\begin{cases} 3\,f_x + 4\,f_y = -25,\\\\ 4\,f_x - 3\,f_y = 50. \end{cases}
Agora resolvemos o sistema. Por exemplo, multiplicando a primeira por 3\] e a segunda por \(4 e somando, obtemos
9\,f_x + 12\,f_y = -75,\quad 16\,f_x - 12\,f_y = 200 \quad\Longrightarrow\quad 25\,f_x = 125 \quad\Longrightarrow\quad f_x(1,2)=5.
Substituindo de volta em 3\,f_x + 4\,f_y=-25:
3\cdot5 + 4\,f_y = -25 \quad\Longrightarrow\quad 15 + 4\,f_y = -25 \quad\Longrightarrow\quad 4\,f_y = -40 \quad\Longrightarrow\quad f_y(1,2) = -10.

Passo 4

Para a derivada direcional de f em (1,2) na direção que aponta para a origem, consideramos o vetor \overrightarrow{w} = (0,0)-(1,2)=(-1,-2). O correspondente vetor unitário é
e = \frac{(-1,-2)}{\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}} = \frac{(-1,-2)}{\sqrt{5}}.
Logo
D_{e}f(1,2) = \nabla f(1,2)\cdot e = (5,\,-10)\cdot\frac{(-1,-2)}{\sqrt{5}} = \frac{5\cdot(-1) + (-10)\cdot(-2)}{\sqrt{5}} = \frac{-5 +20}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} =3\sqrt{5}.

Resposta

(a) f_x(1,2)=5
(b) f_y(1,2)=-10
(c) derivada direcional na direção da origem: 3\sqrt{5}.

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