1. Se a_{1} / b_{1}, \ldots, a_{n} / b_{n} pertencem ao intervalo (\alpha, \beta) e b_{1}, \ldots, b_{n} são positivos, prove que \left(a_{1}+\cdots+a_{n}\right) /\left(b_{1}+\cdots+b_{n}\right) pertence a (\alpha, \beta). Nas mesmas condições, se t_{1}, \ldots, t_{n} \in \mathbb{R}^{+}, prove que \left(t_{1} a_{1}+\cdots+\right. \left.t_{n} a_{n}\right) /\left(t_{1} b_{1}+\cdots+t_{n} b_{n}\right) também pertence ao intervalo ( \alpha, \beta ).

Passo 1

Resumindo: temos números a_{1},\dots,a_{n} e b_{1},\dots,b_{n}>0 tais que
\frac{a_{i}}{b_{i}}\in(\alpha,\beta)\quad\text{para }i=1,\dots,n.
Queremos mostrar que
\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{b_{1}+\cdots+b_{n}}\in(\alpha,\beta),
e em seguida generalizar para pesos t_{1},\dots,t_{n}>0. O conteúdo é manipulação de desigualdades e somas.

Passo 2

Como \frac{a_{i}}{b_{i}}>\alpha, multiplicando por b_{i}>0 obtemos
a_{i}>\alpha\,b_{i}.
Somando essa desigualdade para i=1 até n
a_{1}+\cdots+a_{n}>\alpha\,(b_{1}+\cdots+b_{n}).

Passo 3

De \frac{a_{i}}{b_{i}}<\beta segue, multiplicando por b_{i},
a_{i}<\beta\,b_{i}.
Somando de i=1 até n resulta
a_{1}+\cdots+a_{n}<\beta\,(b_{1}+\cdots+b_{n}).

Passo 4

Das desigualdades
\alpha\,(b_{1}+\cdots+b_{n})<a_{1}+\cdots+a_{n}<\beta\,(b_{1}+\cdots+b_{n})
e como b_{1}+\cdots+b_{n}>0, ao dividir tudo por b_{1}+\cdots+b_{n} fica
\alpha<\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{b_{1}+\cdots+b_{n}}<\beta.

Passo 5

Para pesos t_{i}>0 definimos
A=\sum_{i=1}^{n}t_{i}a_{i},\quad B=\sum_{i=1}^{n}t_{i}b_{i}.
Como \frac{a_{i}}{b_{i}}\in(\alpha,\beta) e t_{i}b_{i}>0, repetimos os passos anteriores:
– de \alpha<\frac{a_{i}}{b_{i}} vem \alpha\,t_{i}b_{i}<t_{i}a_{i}, somando dá \alpha\,B<A.
– de \frac{a_{i}}{b_{i}}<\beta vem t_{i}a_{i}<\beta\,t_{i}b_{i}, somando dá A<\beta\,B.
Dividindo por B>0 obtém-se
\alpha<\frac{A}{B}=\frac{t_{1}a_{1}+\cdots+t_{n}a_{n}}{t_{1}b_{1}+\cdots+t_{n}b_{n}}<\beta.

Resposta

\displaystyle\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{b_{1}+\cdots+b_{n}}\in(\alpha,\beta)
\displaystyle\frac{t_{1}a_{1}+\cdots+t_{n}a_{n}}{t_{1}b_{1}+\cdots+t_{n}b_{n}}\in(\alpha,\beta)

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