1. Prove que \left(1-x^{n+1}\right) /(1-x)=1+x+\cdots+x^{n} para todo x \neq 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita. Mais precisamente, mostrar que, para todo inteiro n\ge0 e todo x\neq1,
\frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} \;=\; 1 + x + x^2 + \cdots + x^n.
Vamos usar a técnica de multiplicar a soma pelo fator 1 - x e observar um “efeito telescópio”.

Passo 2

Considere o produto
\bigl(1 + x + x^2 + \cdots + x^n\bigr)\,(1 - x).
Devemos expandi-lo em duas parcelas:
1\cdot(1 - x) \;+\; x\cdot(1 - x) \;+\;\cdots\;+\;x^n\cdot(1 - x).

Passo 3

Ao distribuir cada termo, obtemos
(1 - x) \;+\;(x - x^2)\;+\;(x^2 - x^3)\;+\;\cdots\;+\;(x^n - x^{n+1}).

Passo 4

Repare que a soma acima é telescópica: o -x do primeiro parêntese cancela com o +x do segundo, o -x^2 do segundo cancela com o +x^2 do terceiro, e assim por diante, sobrando apenas
1 \;-\; x^{n+1}.
Portanto
\bigl(1 + x + \cdots + x^n\bigr)\,(1 - x) \;=\; 1 - x^{n+1}.

Passo 5

Como x\neq1, podemos dividir ambos os lados por (1 - x) e concluir
1 + x + x^2 + \cdots + x^n \;=\; \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x},
que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

\frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} \;=\; 1 + x + x^2 + \cdots + x^n,\quad x\neq1.

Exercícios relacionados