- Prove que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita. Mais precisamente, mostrar que, para todo inteiro
e todo
,
Vamos usar a técnica de multiplicar a soma pelo fator
e observar um “efeito telescópio”.
Passo 2
Considere o produto
Devemos expandi-lo em duas parcelas:
Passo 3
Ao distribuir cada termo, obtemos
Passo 4
Repare que a soma acima é telescópica: o
do primeiro parêntese cancela com o
do segundo, o
do segundo cancela com o
do terceiro, e assim por diante, sobrando apenas
Portanto
Passo 5
Como
, podemos dividir ambos os lados por
e concluir
que é exatamente o que queríamos provar.