A função de custo no curto prazo de uma empresa é expressa pela equação
\mathrm{CT}=200+55 q, em que CT é o custo total e q é a quantidade total produzida, ambos medidos em dezenas de milhares de unidades.
Suponhamos que a empresa faça um empréstimo e expanda sua fábrica. Seu custo fixo subirá em \ 50.000 , porém seu custo variável cairá paraéáá$45.000 por 10.000 unidades. O custo dos juros (J) também entra na equação. Cada aumento deéçã1 % na taxa de juros eleva os custos em$ 3.000$. Escreva a nova equação de custo

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva a nova equação de custo total após a expansão da fábrica e incluindo o custo dos juros. As informações fornecidas são:
\mathrm{CT}=200+55q
onde está explícito que tanto \mathrm{CT} quanto q são medidos em blocos de 10{,}000 (ou seja, os coeficientes estão em milhares de dólares quando interpretamos 200 como 200{,}000 dólares). Dados adicionais:
  • O custo fixo aumenta em \$50{,}000.
  • O custo variável passa a ser \$45{,}000 por 10{,}000 unidades.
  • O custo dos juros, denotado por J, entra na equação; cada aumento de 1\% na taxa de juros eleva os custos em \$3{,}000.
O que precisamos fornecer: a nova fórmula que relaciona \mathrm{CT} com q e com J.

Passo 2

Entendendo unidades e como converter valores monetários para os coeficientes da equação original. Na equação original o termo constante 200 corresponde a \$200{,}000 (ou seja, 200 milhares de dólares). Assim, para agregar mudanças em dólares precisamos transformar \$50{,}000 no mesmo “escala” (milhares). A conversão é:
\$50{,}000 = 50\\ \text{(milhares de dólares)}.ó
Portanto o aumento do custo fixo em termos do coeficiente da equação é +50.

Passo 3

Calculemos o novo custo fixo somando o acréscimo ao valor inicial. O custo fixo inicial, em termos do coeficiente, era 200. Somando 50 obtemos:
\text{novo custo fixo} = 200 + 50 = 250.
Isto significa \$250{,}000 de custo fixo (na escala usada pela equação).

Passo 4

Trabalhando a parte variável. Na equação original o coeficiente de q é 55, que representa \$55{,}000 por cada 10{,}000 unidades (porque q conta blocos de 10{,}000 unidades). O enunciado diz que o custo variável passa a ser \$45{,}000 por 10{,}000 unidades, logo o novo coeficiente para q é:
\text{novo coeficiente de }q = 45.
Assim a parte variável da equação passa a ser 45q (novamente, com \mathrm{CT} em milhares de dólares).

Passo 5

Incluindo o custo dos juros. O enunciado define J como o parâmetro de juros (em pontos percentuais). Cada aumento de 1\% aumenta os custos em \$3{,}000, ou seja, em termos da escala da equação isso equivale a 3 (milhares) por ponto percentual. Portanto o termo que representa o efeito dos juros é 3J (onde J é medido em pontos percentuais).

Passo 6

Agora montamos a nova equação somando os termos: novo custo fixo 250, novo custo variável 45q e custo de juros 3J. A equação, na mesma escala da original (milhares de dólares; q em blocos de 10{,}000 unidades; J em pontos percentuais), fica:
\mathrm{CT}=250+45q+3J.

Passo 7

Para conferir com um exemplo numérico rápido: se q=1 (ou seja, 10{,}000 unidades) e J=5 (juros de 5\%), então
\mathrm{CT}=250+45\cdot1+3\cdot5=250+45+15=310
ou seja \$310{,}000, porque 310 está na escala de milhares de dólares.

Resposta

\mathrm{CT}=250+45q+3J
\text{(em dólares): }\mathrm{CT}=250000+45000\,q+3000\,Jó

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