Suponha que a função de custo de uma empresa seja C.T.
.
a. Calcule o custo variável, o custo fixo, o custo médio, o custo variável médio, o custo fixo médio e o custo marginal.
b. Se o preço do produto, dado pelas forças de oferta e demanda de mercado, for de
800
e c.
a. Calcule o custo variável, o custo fixo, o custo médio, o custo variável médio, o custo fixo médio e o custo marginal.
b. Se o preço do produto, dado pelas forças de oferta e demanda de mercado, for de
Passo 1
O enunciado dá a função custo total e pede várias quantidades e decisões de produção. Informações e perguntas (listadas claramente):
- Dado: a função custo total é
(onde é a quantidade produzida). - Perguntas:
a. Calcular: custo variável, custo fixo, custo médio, custo variável médio, custo fixo médio e custo marginal.
b. Se o preço de mercado for, qual a quantidade que maximiza o lucro da firma?
c. Se o preço cair para, qual a quantidade que maximiza o lucro?
d. Supondo um imposto depor unidade produzida, refazer os itens a, b e c com o novo custo.
Passo 2
Conceitos básicos (muito práticos e curtos — o que você precisa saber para aplicar):
- Custo fixo (CF): parte do custo que não depende da produção
. É gasto que a empresa paga mesmo produzindo zero. - Custo variável (CV): parte do custo que depende de
. - Custo médio (CM): custo total por unidade produzida,
(para ). - Custo variável médio (CVM):
. - Custo fixo médio (CFM):
. - Custo marginal (CMg): mudança do custo total quando produzimos uma unidade a mais; matematicamente é a derivada de
: .
Guarde essa listinha — vamos aplicar direto.
Passo 3
Identificar custo fixo e custo variável a partir de
.
- A parte que não depende de
é o custo fixo: - A parte que depende de
é o custo variável:
Explicando: escrevemos o polinômio e separamos termos constantes (fixos) e termos com
(variáveis).
Passo 4
Calcular os custos médios pedindo a definição e fazendo a divisão:
- Custo médio (CM):
Aqui vem do termo variável por unidade e é a parcela fixa diluída por unidade. - Custo variável médio (CVM):
- Custo fixo médio (CFM):
Comentário didático: o custo médio soma exatamente a parte variável média com a parte fixa média, por isso
.
Passo 5
Calcular o custo marginal (usa derivada):
- Definição curta:
. - Aplicando a derivada em
:
Explicando a derivada: a derivada de
é
. Aqui
então fica
. A derivada do constante
é zero.
Passo 6
Como escolher a produção que maximiza o lucro (mini-aula prática):
- Para uma firma tomadora de preço (price-taker), o lucro
. - A primeira ordem para máximo:
. - Também é preciso verificar a condição de operação: a empresa só produz se o preço cobrir o custo variável médio no ponto ótimo (isto é,
no ótimo). Se não, fecha (produz ).
Agora aplicamos.
Passo 7
Resolver item b: preço
.
- Igualar preço ao custo marginal:
- Verificação de shutdown:
. Como , a firma opera (lucro positivo). - Calcular lucro (opcional para confirmar): receita
. Custo total . Lucro .
Passo 8
Resolver item c: preço
.
- Igualar preço ao custo marginal:
- Verificação de shutdown:
. Como , a firma opera. - Lucro: receita
. Custo total . Lucro .
Passo 9
Agora introduzindo o imposto por unidade
. O imposto por unidade é um custo variável adicional de
por unidade, então a nova função custo total fica:
Expliquei: o termo
é linear em
porque se paga
para cada unidade produzida.
Passo 10
Recalcular as peças com imposto:
- Custo variável (agora):
- Custo fixo:
- Custo médio:
- Custo variável médio:
- Custo fixo médio:
- Custo marginal (derivada):
Passo 11
Resolver item d, caso (i): preço
com imposto.
- Igualar preço ao novo custo marginal:
Em forma decimal, . - Verificação de shutdown:
. Como , opera. - Lucro (verificação numérica): receita
. Custo total . Lucro .
Passo 12
Resolver item d, caso (ii): preço
com imposto.
- Igualar preço ao novo custo marginal:
Em decimal, . - Verificação de shutdown:
. Como , opera. - Lucro (verificação numérica): receita
. Custo total . Lucro .
Resposta
a.
a.
a.
a.
a.
a.
a.
a.
a.
a.
a.
b.
(lucro
)
c.
(lucro
)
d (com imposto):
d (com imposto) a.
d (com imposto) a.
d (com imposto) a.
d (com imposto) a.
d (com imposto) a.
d (com imposto) a.
d (com imposto) a.
d (com imposto) a.
d (com imposto) a.
d (com imposto) a.
d (com imposto) a.
d (com imposto) a.
d (com imposto) b.
(lucro
)
d (com imposto) c.
(lucro
)