Suponha que a função de custo de uma empresa seja C.T. =4 \mathrm{y}^{2}+160.
a. Calcule o custo variável, o custo fixo, o custo médio, o custo variável médio, o custo fixo médio e o custo marginal.
b. Se o preço do produto, dado pelas forças de oferta e demanda de mercado, for de \mathrm{R} \ 800 , qual será o plano de produção de máximo lucro para essa firma? c. E se o preço cair para R\$ 600, qual será o novo plano de produção de máximo lucro? d. Suponha um que o governo colocou um imposto de \(\mathrm{R} \\) 25\(por unidade produzida e refaça os itens\)\mathrm{a}, \mathrm{b} e c.

Passo 1

O enunciado dá a função custo total e pede várias quantidades e decisões de produção. Informações e perguntas (listadas claramente):
  • Dado: a função custo total é \;C_T(y)=4y^{2}+160\; (onde \;y\; é a quantidade produzida).
  • Perguntas:
    a. Calcular: custo variável, custo fixo, custo médio, custo variável médio, custo fixo médio e custo marginal.
    b. Se o preço de mercado for \mathrm{R}\$\,800, qual a quantidade que maximiza o lucro da firma?
    c. Se o preço cair para \mathrm{R}\$\,600, qual a quantidade que maximiza o lucro?
    d. Supondo um imposto de \mathrm{R}\$\,25 por unidade produzida, refazer os itens a, b e c com o novo custo.

Passo 2

Conceitos básicos (muito práticos e curtos — o que você precisa saber para aplicar):
  • Custo fixo (CF): parte do custo que não depende da produção \;y\;. É gasto que a empresa paga mesmo produzindo zero.
  • Custo variável (CV): parte do custo que depende de \;y\;.
  • Custo médio (CM): custo total por unidade produzida, \;CM(y)=\dfrac{C_T(y)}{y}\; (para \;y>0\;).
  • Custo variável médio (CVM): \;CVM(y)=\dfrac{CV(y)}{y}\;.
  • Custo fixo médio (CFM): \;CFM(y)=\dfrac{CF}{y}\;.
  • Custo marginal (CMg): mudança do custo total quando produzimos uma unidade a mais; matematicamente é a derivada de \;C_T(y)\;: \;CMg(y)=C_T'(y)\;.
    Guarde essa listinha — vamos aplicar direto.

Passo 3

Identificar custo fixo e custo variável a partir de \;C_T(y)=4y^{2}+160\;.
  • A parte que não depende de \;y\; é o custo fixo: CF = 160.
  • A parte que depende de \;y\; é o custo variável: CV(y)=4y^{2}.
Explicando: escrevemos o polinômio e separamos termos constantes (fixos) e termos com y (variáveis).

Passo 4

Calcular os custos médios pedindo a definição e fazendo a divisão:
  • Custo médio (CM): CM(y)=\frac{C_T(y)}{y}=\frac{4y^{2}+160}{y}=4y+\frac{160}{y}.Aqui 4y vem do termo variável por unidade e \dfrac{160}{y} é a parcela fixa diluída por unidade.
  • Custo variável médio (CVM): CVM(y)=\frac{CV(y)}{y}=\frac{4y^{2}}{y}=4y.
  • Custo fixo médio (CFM): CFM(y)=\frac{CF}{y}=\frac{160}{y}.
Comentário didático: o custo médio soma exatamente a parte variável média com a parte fixa média, por isso CM(y)=CVM(y)+CFM(y).

Passo 5

Calcular o custo marginal (usa derivada):
  • Definição curta: CMg(y)=\dfrac{d}{dy}C_T(y).
  • Aplicando a derivada em \;C_T(y)=4y^{2}+160\;: CMg(y)=\frac{d}{dy}(4y^{2}+160)=8y.
Explicando a derivada: a derivada de ay^{2} é 2ay. Aqui a=4 então fica 8y. A derivada do constante 160 é zero.

Passo 6

Como escolher a produção que maximiza o lucro (mini-aula prática):
  • Para uma firma tomadora de preço (price-taker), o lucro \pi(y)=p\cdot y - C_T(y).
  • A primeira ordem para máximo: \dfrac{d\pi}{dy}=0\Rightarrow p - CMg(y)=0\Rightarrow p=CMg(y).
  • Também é preciso verificar a condição de operação: a empresa só produz se o preço cobrir o custo variável médio no ponto ótimo (isto é, p\ge CVM(y) no ótimo). Se não, fecha (produz y=0).
    Agora aplicamos.

Passo 7

Resolver item b: preço \;p=\mathrm{R}\$\,800.
  • Igualar preço ao custo marginal: 8y = 800 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{800}{8}=100.
  • Verificação de shutdown: CVM(y)=4y=4\cdot100=400. Como p=800>400, a firma opera (lucro positivo).
  • Calcular lucro (opcional para confirmar): receita =800\cdot100=80\,000. Custo total =4\cdot100^{2}+160=4\cdot10\,000+160=40\,160. Lucro =80\,000-40\,160=39\,840.

Passo 8

Resolver item c: preço \;p=\mathrm{R}\$\,600.
  • Igualar preço ao custo marginal: 8y = 600 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{600}{8}=75.
  • Verificação de shutdown: CVM(y)=4y=4\cdot75=300. Como p=600>300, a firma opera.
  • Lucro: receita =600\cdot75=45\,000. Custo total =4\cdot75^{2}+160=4\cdot5\,625+160=22\,660. Lucro =45\,000-22\,660=22\,340.

Passo 9

Agora introduzindo o imposto por unidade t=\mathrm{R}\$\,25. O imposto por unidade é um custo variável adicional de 25 por unidade, então a nova função custo total fica:
C_T^{(novo)}(y)=4y^{2}+25y+160.
Expliquei: o termo 25y é linear em y porque se paga 25 para cada unidade produzida.

Passo 10

Recalcular as peças com imposto:
  • Custo variável (agora): CV^{(novo)}(y)=4y^{2}+25y.
  • Custo fixo: CF^{(novo)}=160.
  • Custo médio: CM^{(novo)}(y)=\frac{4y^{2}+25y+160}{y}=4y+25+\frac{160}{y}.
  • Custo variável médio: CVM^{(novo)}(y)=\frac{4y^{2}+25y}{y}=4y+25.
  • Custo fixo médio: CFM^{(novo)}(y)=\frac{160}{y}.
  • Custo marginal (derivada): CMg^{(novo)}(y)=\frac{d}{dy}(4y^{2}+25y+160)=8y+25.

Passo 11

Resolver item d, caso (i): preço \;p=\mathrm{R}\$\,800 com imposto.
  • Igualar preço ao novo custo marginal: 8y+25=800 \quad\Rightarrow\quad 8y=775 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{775}{8}.Em forma decimal, \;y=\frac{775}{8}=96,875\;.
  • Verificação de shutdown: CVM^{(novo)}(y)=4y+25=4\cdot96,875+25=387,5+25=412,5. Como p=800>412,5, opera.
  • Lucro (verificação numérica): receita =800\cdot \tfrac{775}{8}=77\,500. Custo total =4(\tfrac{775}{8})^{2}+25(\tfrac{775}{8})+160 \approx 40\,120,9375. Lucro \approx 77\,500-40\,120,9375=37\,379,0625.

Passo 12

Resolver item d, caso (ii): preço \;p=\mathrm{R}\$\,600 com imposto.
  • Igualar preço ao novo custo marginal: 8y+25=600 \quad\Rightarrow\quad 8y=575 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{575}{8}.Em decimal, \;y=\frac{575}{8}=71,875\;.
  • Verificação de shutdown: CVM^{(novo)}(y)=4y+25=4\cdot71,875+25=287,5+25=312,5. Como p=600>312,5, opera.
  • Lucro (verificação numérica): receita =600\cdot \tfrac{575}{8}=43\,125. Custo total =4(\tfrac{575}{8})^{2}+25(\tfrac{575}{8})+160 \approx 22\,620,9375. Lucro \approx 43\,125-22\,620,9375=20\,504,0625.

Resposta

a. CV(y)=4y^{2}
a. CF=160
a. CM(y)=4y+\dfrac{160}{y}
a. CVM(y)=4y
a. CFM(y)=\dfrac{160}{y}
a. CMg(y)=8y
b. y=100 (lucro =39\,840)
c. y=75 (lucro =22\,340)
d (com imposto): C_T^{(novo)}(y)=4y^{2}+25y+160
d (com imposto) a. CV^{(novo)}(y)=4y^{2}+25y
d (com imposto) a. CF^{(novo)}=160
d (com imposto) a. CM^{(novo)}(y)=4y+25+\dfrac{160}{y}
d (com imposto) a. CVM^{(novo)}(y)=4y+25
d (com imposto) a. CFM^{(novo)}(y)=\dfrac{160}{y}
d (com imposto) a. CMg^{(novo)}(y)=8y+25
d (com imposto) b. y=\dfrac{775}{8}\approx 96,875 (lucro \approx 37\,379,0625)
d (com imposto) c. y=\dfrac{575}{8}\approx 71,875 (lucro \approx 20\,504,0625)

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