suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.
(a) Encontre a série de Fourier da função estendida.
(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge por três períodos.
(a) Encontre a série de Fourier da função estendida.
(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge por três períodos.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de período 2 de
além de esboçar o gráfico da função para a qual essa série converge em três períodos. Vamos usar a fórmula padrão de Fourier em [-1,1] (L=1) e os procedimentos de integração por partes.
Passo 2
Para encontrar o termo constante a₀ usamos
Como f=0 em [-1,0) e f=x² em [0,1],
Assim o termo constante na série é a₀/2=1/6.
Passo 3
Para os coeficientes a_n, temos
Fazendo integração por partes duas vezes (u=x², dv=cos(nπx)dx e depois análogo em ∫x·sin(nπx)), chega-se a
Passo 4
Para os coeficientes b_n, partimos de
Aplicando duas integrações por partes (u=x², dv=sin(nπx)dx e depois em ∫x·cos(nπx)), obtemos
Passo 5
Reunindo tudo, a série de Fourier da função estendida periodicamente é
Passo 6
O gráfico da função para a qual essa série converge é a extensão periódica de período 2 do trecho original: em cada intervalo [2k−1,2k) vale zero e em [2k,2k+1) vale (x−2k)², com saltos na fronteira onde o valor da série é a média dos limites lateral (por exemplo em x=1 o valor é ½). Desenhando de x=−3 a x=3, vemos blocos de altura zero em comprimentos 1 seguidos de parábolas de concavidade para cima em comprimento 1.
Passo 7
O comportamento em pontos de descontinuidade (x=k, k inteiro ímpar) é a média dos limites laterais, garantindo que a série convirja à essa média.
Resposta
A série de Fourier de período 2 é
O gráfico da função à qual essa série converge é sua extensão periódica de período 2, alternando zeros (em cada [2k−1,2k)) e parábolas x↦(x−2k)² (em cada [2k,2k+1)), repetido por três períodos.