suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.
(a) Encontre a série de Fourier da função estendida.
(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge por três períodos.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2 de
f(x)=0,&-1<= x<0,x^2,&0<= x<1,
além de esboçar o gráfico da função para a qual essa série converge em três períodos. Vamos usar a fórmula padrão de Fourier em [-1,1] (L=1) e os procedimentos de integração por partes.

Passo 2

Para encontrar o termo constante a₀ usamos
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx=integral-1^1f(x),dx
Como f=0 em [-1,0) e f=x² em [0,1],
a0=integral0^1x^2,dx=l[tfracx^33r]0^1=tfrac13
Assim o termo constante na série é a₀/2=1/6.

Passo 3

Para os coeficientes a_n, temos
an=integral-1^1f(x)cos(npi x),dx=integral0^1x^2cos(npi x),dx
Fazendo integração por partes duas vezes (u=x², dv=cos(nπx)dx e depois análogo em ∫x·sin(nπx)), chega-se a
an=2(-1)^nn^2pi^2

Passo 4

Para os coeficientes b_n, partimos de
bn=integral-1^1f(x)sin(npi x),dx=integral0^1x^2sin(npi x),dx
Aplicando duas integrações por partes (u=x², dv=sin(nπx)dx e depois em ∫x·cos(nπx)), obtemos
bn=(-1)^nl[2n^3pi^3-1npir]-2n^3pi^3

Passo 5

Reunindo tudo, a série de Fourier da função estendida periodicamente é
f(x)=16+sumn=1^inftyl[2(-1)^nn^2pi^2cos(npi x)+l((-1)^nl(tfrac2n^3pi^3-tfrac1npir)-tfrac2n^3pi^3r)sin(npi x)r]

Passo 6

O gráfico da função para a qual essa série converge é a extensão periódica de período 2 do trecho original: em cada intervalo [2k−1,2k) vale zero e em [2k,2k+1) vale (x−2k)², com saltos na fronteira onde o valor da série é a média dos limites lateral (por exemplo em x=1 o valor é ½). Desenhando de x=−3 a x=3, vemos blocos de altura zero em comprimentos 1 seguidos de parábolas de concavidade para cima em comprimento 1.

Passo 7

O comportamento em pontos de descontinuidade (x=k, k inteiro ímpar) é a média dos limites laterais, garantindo que a série convirja à essa média.

Resposta

A série de Fourier de período 2 é
f(x)=16+sumn=1^inftyl[2(-1)^nn^2pi^2cos(npi x)+l((-1)^nl(tfrac2n^3pi^3-tfrac1npir)-tfrac2n^3pi^3r)sin(npi x)r]
O gráfico da função à qual essa série converge é sua extensão periódica de período 2, alternando zeros (em cada [2k−1,2k)) e parábolas x↦(x−2k)² (em cada [2k,2k+1)), repetido por três períodos.

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