Calcule a integral iterada:
integral0^2 integral-1^1(x-y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla que é assim: integral0^2 integral-1^1(x-y) , dy , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais iteradas, que são usadas para calcular o volume sob uma superfície em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é integral-1^1(x - y) , dy. Isso significa que vamos integrar a função x - y em relação a y, mantendo x como uma constante.

Passo 3

Vamos integrar x - y em relação a y:
integral (x - y) , dy = integral x , dy - integral y , dy = x cdot y - y^22 + C
Onde C é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de y = -1 e y = 1:
[ x cdot y - y^22 ]-1^1 = ( x cdot 1 - 1^22 ) - ( x cdot (-1) - (-1)^22 ) = (x - 0.5) - (-x - 0.5) = 2x

Passo 5

Agora que temos o resultado da integral interna, que é 2x, vamos integrar isso em relação a x no intervalo de 0 a 2:
integral0^2 2x , dx = 2 integral0^2 x , dx = 2 [ x^22 ]0^2 = 2 ( 42 - 0 ) = 2 times 2 = 4

Resposta

O valor da integral iterada é 4.

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