Determine o maior subconjunto de C onde as funções seguintes são diferenciáveis: f(z)=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o maior subconjunto de \mathbb{C} onde
f(z)=\frac{\overline{z}}{\lvert z\rvert^2}
é diferenciável como função de variável complexa.
O conteúdo que vamos usar é o fato de que, para z\neq0, \displaystyle\frac{\overline z}{\lvert z\rvert^2}=\frac1z,
e que a função 1/z é holomorfa (complexamente diferenciável) em \mathbb{C}\setminus\{0\}.

Passo 2

Primeiro notamos que f não está nem definida em z=0, pois aí \lvert z\rvert^2=0.
Para z\neq0 escrevemos
f(z)=\frac{\overline z}{z\,\overline z}=\frac1z.

Passo 3

É um resultado clássico de análise complexa que a função
g(z)=\frac1z
é holomorfa em todo o domínio \mathbb{C}\setminus\{0\}.
Ou seja, ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann e tem derivada complexa em cada ponto diferente de zero.

Passo 4

Como para z\neq0 temos f(z)=g(z), concluímos que f é complexamente diferenciável em todo ponto de \mathbb{C}\setminus\{0\}, e não há nenhum outro ponto onde f faça sentido.

Resposta

O maior subconjunto de \mathbb{C} onde f é diferenciável é
\mathbb{C}\setminus\{0\}.

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