Determine o maior subconjunto de
onde as funções seguintes são diferenciáveis:
.
Passo 1
O enunciado pede o maior subconjunto de
onde
é diferenciável como função de variável complexa.
O conteúdo que vamos usar é o fato de que, para ,
,
e que a função é holomorfa (complexamente diferenciável) em
.
O conteúdo que vamos usar é o fato de que, para
e que a função
Passo 2
Primeiro notamos que
não está nem definida em
, pois aí
.
Para escrevemos
Para
Passo 3
É um resultado clássico de análise complexa que a função
é holomorfa em todo o domínio
.
Ou seja, ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann e tem derivada complexa em cada ponto diferente de zero.
Ou seja, ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann e tem derivada complexa em cada ponto diferente de zero.
Passo 4
Como para
temos
, concluímos que
é complexamente diferenciável em todo ponto de
, e não há nenhum outro ponto onde
faça sentido.
Resposta
O maior subconjunto de
onde
é diferenciável é