Suponha que uma função f(x, y) possua derivadas parciais de segunda ordem contínuas em uma vizinhança da origem e que ( 0,0 ) seja um ponto crítico. Considere o discriminante
D=f_{x x}(0,0) f_{y y}(0,0)-\left(f_{x y}(0,0)\right)^{2}
Discuta o que o teste da segunda derivada informa em cada um dos casos abaixo:
D=0.

Passo 1

O enunciado nos diz claramente o seguinte:
  • Há uma função f(x,y) com derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa vizinhança da origem.
  • O ponto (0,0) é um ponto crítico, isto é, \nabla f(0,0)=\mathbf{0}.
  • Foi definido o discriminante
D=f_{x x}(0,0)\,f_{y y}(0,0)-\bigl(f_{x y}(0,0)\bigr)^{2}.
A pergunta específica que vamos responder é: o que o teste da segunda derivada (o teste usando D) informa quando temos D=0?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar (passo a passo e com calma) como a expansão de Taylor de f em torno de (0,0) até segunda ordem aparece, porque é daí que vem o teste:
f(x,y)=f(0,0)+\underbrace{\frac{1}{2}\bigl(A x^{2}+2B x y + C y^{2}\bigr)}_{q(x,y)}+R(x,y),
onde
A=f_{x x}(0,0),\qquad B=f_{x y}(0,0),\qquad C=f_{y y}(0,0),
o termo q(x,y) é a forma quadrática de segunda ordem (o «termo quadrático») e R(x,y) representa os termos de ordem superior (termos de ordem >2). O teste clássico de segunda derivada observa o sinal de q:
  • Se q é definida positiva (sempre >0 para (x,y)\neq(0,0)) então temos mínimo local.
  • Se q é definida negativa então temos máximo local.
  • Se q é indefinida (assume sinais opostos) temos ponto do tipo sela.
    Matematicamente o discriminante D aparece porque
D=AC-B^{2}=\det\begin{pmatrix}A&B\\[2pt]B&C\end{pmatrix},
e ele determina o tipo da forma quadrática quando D\neq0.]

Passo 3

Agora, especificamente para o caso D=0, vamos entender a implicação algébrica sobre q(x,y).
  • Se D=0 então AC=B^{2}. Isso significa que a matriz
\begin{pmatrix}A&B\\[2pt]B&C\end{pmatrix} tem determinante zero, logo tem posto 0 ou 1 (não pode ser de posto 2).
  • Consequência prática: a forma quadrática q é degenerada. Em particular, ou
    1. A=B=C=0, então q\equiv0 (a parte quadrática é identicamente nula); ou
    2. os coeficientes não são todos nulos, mas a forma quadrática é um quadrado perfeito (multiplicada por constante). Por exemplo, se A\neq0 então, usando C=B^{2}/A,
    q(x,y)=\frac{1}{2}A\Bigl(x^{2}+2\frac{B}{A}xy+\frac{B^{2}}{A^{2}}y^{2}\Bigr) =\frac{1}{2}A\Bigl(x+\frac{B}{A}y\Bigr)^{2}.Essa expressão mostra que q é semidefinida (não muda de sinal): se A>0 então q\ge0 e anula-se ao longo da reta x+\dfrac{B}{A}y=0; se A<0 então q\le0 e anula-se na mesma reta. Se A=0 e D=0 então necessariamente B=0 e C=0 e cai no caso q\equiv0.
Resumo curto: D=0 implica que o termo quadrático não é estritamente definido positivo nem estritamente definido negativo — é degenerado (semidefinido ou nulo).]

Passo 4

Qual é a consequência para o teste da segunda derivada? Conclusão essencial:
  • Quando D=0 o teste padrão é inconclusivo. Não é possível afirmar apenas por D=0 se (0,0) é mínimo, máximo, sela ou nenhum dos anteriores.
    Por quê? Porque o comportamento de f perto de (0,0) passa a depender dos termos de ordem superior R(x,y) na expansão de Taylor e/ou de como q se anula em certas direções. Em palavras: se a segunda ordem não «decide» (é degenerada), o próximo termo não-nulo (terceira, quarta ordem, etc.) é que vai determinar o sinal de f(x,y)-f(0,0) próximo à origem.

Passo 5

Como proceder numa prova ou exame quando você encontra D=0? Aqui vai um roteiro prático, passo a passo, que você consegue aplicar sem mágica:
  1. Calcule A,B,C e confira que AC-B^{2}=0.
  2. Verifique se A=B=C=0. Se sim, a parte quadrática desapareceu: passe a expandir f até a primeira ordem não-nula (terceira, quarta, …) e analise o sinal desse termo dominante.
  3. Se a forma quadrática não é identicamente zero (ou seja, algum de A,B,C é não nulo), encontre a direção (reta) onde q se anula. Se por exemplo A\neq0, a reta é x+\dfrac{B}{A}y=0.
  4. Restrinja f a essa reta (ou a uma parametrização da forma x(t),y(t) que anula q) e escreva a série de Taylor ao longo dessa reta: determine o menor expoente k>2 tal que o termo de ordem k não seja zero quando você restringe. O sinal desse termo dominante ao longo dessa direção decide:
    • se for sempre positivo (para t pequeno mas não nulo) então junto com q semidefinida positiva pode dar mínimo local;
    • se for sempre negativo pode dar máximo local;
    • se o sinal mudar (positivo em algumas direções e negativo em outras) obtém-se sela.
  5. Alternativa prática (muito usada em provas): testar linhas simples y=m x (ou x=0, y=0) e observar o comportamento de f(x,mx)-f(0,0) para x pequeno; se encontrar sinais opostos para diferentes m você já tem sela; se perceber sempre o mesmo sinal, continue procurando a ordem mínima não-nula.

Passo 6

Vou ilustrar com exemplos rápidos (cada um tem D=0 e mostra que os tipos possíveis existem):
  • Exemplo de mínimo local: f(x,y)=x^{2}+y^{4}.
    • Aqui A=f_{xx}(0,0)=2, B=0, C=f_{yy}(0,0)=0. Então D=2\cdot0-0=0.
    • Apesar de D=0, f(x,y)\ge0 em torno da origem e f(0,0)=0, logo (0,0) é mínimo local (o termo y^{4} — ordem 4 — garante positividade nas direções onde a ordem 2 é nula).
  • Exemplo de máximo local: f(x,y)=-x^{2}-y^{4}. Análogo ao anterior, mas sinal trocado.
  • Exemplo de sela: f(x,y)=x^{2}-y^{4}.
    • Novamente A=2, B=0, C=0 e D=0, mas f assume sinais positivos (por exemplo em (x,0)) e negativos (em (0,y)), logo (0,0) é sela.
  • Exemplo de caso completamente degenerado (segunda ordem nula): f(x,y)=x^{4}+y^{4}.
    • Aqui A=B=C=0 e o menor termo não nulo é de ordem 4; (0,0) é mínimo local apesar de D=0.
  • Exemplo onde não há extremo nem sela estrito: f(x,y)=x^{3}.
    • Todas as segundas derivadas em 0 são zero, então D=0. A função muda de sinal com x e é constante em y, então não há máximo/minimo estrito; é um ponto degenerado.

Passo 7

Resumo prático-final para guardar na prova (tipo checklist mental):
  • Se D>0: A>0 ⇒ mínimo; A<0 ⇒ máximo.
  • Se D<0: sela.
  • Se D=0: inconclusivo. Pare de confiar só nas segundas derivadas; examine termos de ordem superior ou restrinja a direções (testar y=mx, ou usar desenvolvimento de Taylor mais refinado) até encontrar o primeiro termo não-nulo que determine o sinal local.

Resposta

O teste é inconclusivo: quando D=0 a forma quadrática de segunda ordem é degenerada (semidefinida ou nula), portanto só com D=0 não se decide o tipo do ponto crítico — pode ser mínimo local, máximo local, sela ou um ponto degenerado; é necessário analisar termos de ordem superior (ou restrições a direções) para concluir.

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