A temperatura em uma placa é dada pela função
No ponto
, determine:
a) a direção em que a temperatura cresce mais rapidamente;
b) a taxa máxima de crescimento da temperatura;
c) uma direção na qual a derivada direcional seja nula.
a) a direção em que a temperatura cresce mais rapidamente;
b) a taxa máxima de crescimento da temperatura;
c) uma direção na qual a derivada direcional seja nula.
Passo 1
O enunciado dá a função temperatura
e pede três coisas no ponto
:
- (a) a direção em que a temperatura cresce mais rapidamente;
- (b) a taxa máxima de crescimento da temperatura (valor desse crescimento);
- (c) uma direção em que a derivada direcional seja nula.
Informações relevantes dadas:
- A expressão explícita de
. - O ponto considerado:
.
Passo 2
Entender o que significa “direção de crescimento mais rápido” e “derivada direcional”: a matriz de ferramentas é o gradiente e a fórmula da derivada direcional.
Breve aula (muito prática):
- A derivada direcional de
no ponto na direção do vetor unitário é dada por
onde
é o gradiente de
e
é o produto escalar.
- O gradiente
coleta as derivadas parciais:
- Propriedade importante: a direção em que
cresce mais rapidamente é a direção do vetor . A taxa máxima de crescimento é o módulo . Intuição rápida: aponta para o rumo de maior aumento e seu tamanho diz quanto aumenta por unidade de comprimento nessa direção. - Observação técnica: a direção deve ser dada por um vetor unitário; assim, para indicar “a direção”, normalmente entregamos o vetor unitário
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais e o gradiente de
.
Cálculo das derivadas parciais:
Portanto o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
Substituindo
e
em
:
Interpretação curta: o vetor
aponta na direção de maior aumento da temperatura em
. Como costuma-se dar a direção como vetor unitário, vamos normalizá-lo.
Calcular a norma de
:
Portanto o vetor unitário na direção do gradiente é
Passo 5
Resposta (a) e (b) explicadas com fórmulas e números.
- (a) Direção de máximo crescimento: é a direção do gradiente em
, ou seja o vetor unitário
- (b) Taxa máxima de crescimento: é o módulo do gradiente em
, que já calculamos ser
Interpretação: movendo-se unitariamente na direção
, a temperatura aumenta a uma taxa de
unidades de temperatura por unidade de comprimento.
Passo 6
Encontrar uma direção em que a derivada direcional seja nula (parte (c)).
Lembrando a fórmula
para que essa derivada seja zero precisamos de um vetor
(unitário) ortogonal ao gradiente
. Ou seja, escolher
tal que
Um vetor facilmente ortogonal a
é
porque
Agora normalizamos
. A norma de
é
. Logo um vetor unitário na direção desejada é
Verificação direta (opcional): o produto escalar
logo a derivada direcional nessa direção é zero.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)