A temperatura em uma placa é dada pela função
T(x, y)=100-2 x^{2}-y^{2} .
No ponto (2,3), determine:
a) a direção em que a temperatura cresce mais rapidamente;
b) a taxa máxima de crescimento da temperatura;
c) uma direção na qual a derivada direcional seja nula.

Passo 1

O enunciado dá a função temperatura
T(x,y)=100-2x^{2}-y^{2}
e pede três coisas no ponto (2,3):
  • (a) a direção em que a temperatura cresce mais rapidamente;
  • (b) a taxa máxima de crescimento da temperatura (valor desse crescimento);
  • (c) uma direção em que a derivada direcional seja nula.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita de T(x,y).
  • O ponto considerado: (2,3).

Passo 2

Entender o que significa “direção de crescimento mais rápido” e “derivada direcional”: a matriz de ferramentas é o gradiente e a fórmula da derivada direcional.
Breve aula (muito prática):
  • A derivada direcional de T no ponto (x_0,y_0) na direção do vetor unitário u é dada por
D_{u}T(x_0,y_0)=\nabla T(x_0,y_0)\cdot u,
onde \nabla T é o gradiente de T e \cdot é o produto escalar.
  • O gradiente \nabla T(x,y) coleta as derivadas parciais:
\nabla T(x,y)=\left(\frac{\partial T}{\partial x},\frac{\partial T}{\partial y}\right).
  • Propriedade importante: a direção em que T cresce mais rapidamente é a direção do vetor \nabla T. A taxa máxima de crescimento é o módulo \|\nabla T\|. Intuição rápida: \nabla T aponta para o rumo de maior aumento e seu tamanho diz quanto aumenta por unidade de comprimento nessa direção.
  • Observação técnica: a direção deve ser dada por um vetor unitário; assim, para indicar “a direção”, normalmente entregamos o vetor unitário \dfrac{\nabla T}{\|\nabla T\|}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais e o gradiente de T.
Cálculo das derivadas parciais:
\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(100-2x^{2}-y^{2}\bigr) = -4x,
\frac{\partial T}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(100-2x^{2}-y^{2}\bigr) = -2y.
Portanto o gradiente geral é
\boxed{\nabla T(x,y)=(-4x,\,-2y).}

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (2,3).
Substituindo x=2 e y=3 em \nabla T:
\nabla T(2,3)=(-4\cdot 2,\,-2\cdot 3)=(-8,\,-6).
Interpretação curta: o vetor (-8,-6) aponta na direção de maior aumento da temperatura em (2,3). Como costuma-se dar a direção como vetor unitário, vamos normalizá-lo.
Calcular a norma de \nabla T(2,3):
\|\nabla T(2,3)\|=\sqrt{(-8)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.
Portanto o vetor unitário na direção do gradiente é
\frac{\nabla T(2,3)}{\|\nabla T(2,3)\|}=\frac{(-8,-6)}{10}=\left(-\tfrac{8}{10},-\tfrac{6}{10}\right)=\left(-\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\right).

Passo 5

Resposta (a) e (b) explicadas com fórmulas e números.
  • (a) Direção de máximo crescimento: é a direção do gradiente em (2,3), ou seja o vetor unitário
\left(-\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\right).
  • (b) Taxa máxima de crescimento: é o módulo do gradiente em (2,3), que já calculamos ser
\|\nabla T(2,3)\|=10.
Interpretação: movendo-se unitariamente na direção \left(-\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\right), a temperatura aumenta a uma taxa de 10 unidades de temperatura por unidade de comprimento.

Passo 6

Encontrar uma direção em que a derivada direcional seja nula (parte (c)).
Lembrando a fórmula
D_{u}T(2,3)=\nabla T(2,3)\cdot u,
para que essa derivada seja zero precisamos de um vetor u (unitário) ortogonal ao gradiente \nabla T(2,3)=(-8,-6). Ou seja, escolher u tal que
(-8,-6)\cdot u = 0.
Um vetor facilmente ortogonal a (-8,-6) é (3,-4) porque
(-8,-6)\cdot(3,-4)=(-8)\cdot 3 + (-6)\cdot(-4) = -24+24=0.
Agora normalizamos (3,-4). A norma de (3,-4) é \sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. Logo um vetor unitário na direção desejada é
\left(\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\right).
Verificação direta (opcional): o produto escalar
(-8,-6)\cdot\left(\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\right)=\frac{-8\cdot 3 + (-6)\cdot(-4)}{5}=\frac{-24+24}{5}=0,
logo a derivada direcional nessa direção é zero.

Resposta

(a) \left(-\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\right)\n
(b) 10\n
(c) \left(\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\right)

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