Suponha que os grãos de poeira nos anéis de Saturno são esféricos,cam um raio R=1,2 \times 10^{-6} \mathrm{~m}. Se um grão coleta N=N_{0} \times 10^{5} elétrons para adquirir um potencial de -464 V na sua superficie, determine o valor de N_{0}. (Tome V=0 no infinito.)
\begin{array}{lllll}\text { (a) } 6,89 & \text { (b) } 1,74 & 4 ; 81 & \text { (d) } 8,11 & \text { (e) } 3,87\end{array} (f) 10,63

Passo 1

O enunciado dá um grão esférico de poeira com raio R=1{,}2\times10^{-6}\,\mathrm{m} que adquire potencial de -464\,\mathrm{V} ao coletar N elétrons. Precisamos usar a fórmula do potencial de uma esfera carregada e a relação Q=-Ne para achar N, e então escrever N=N_{0}\times10^{5} e determinar N_{0}.

Passo 2

O potencial elétrico na superfície de uma esfera carregada, tomando V=0 no infinito, é dado por
V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,R}\,.

Passo 3

Aqui a carga Q vem de N elétrons, cada um com carga -e, logo
Q = -N\,e.
Substituindo em V, temos
-464 = \frac{-N\,e}{4\pi\varepsilon_{0}\,R}\quad\Longrightarrow\quad N = \frac{464\,(4\pi\varepsilon_{0})\,R}{e}\,.

Passo 4

Agora basta colocar valores numéricos:
4\pi\varepsilon_{0}\approx1{,}11265\times10^{-10}\,\mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})},\quad e=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}.
N = \frac{464\times1{,}11265\times10^{-10}\times1{,}2\times10^{-6}}{1{,}602\times10^{-19}} \approx3{,}87\times10^{5}.
Escrevendo N=N_{0}\times10^{5} N_{0}\approx3{,}87.

Resposta

N_{0}\approx3{,}87 (alternativa (e))

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