Suponha que um grupo de engenheiros deseja avaliar a utilização de filamento de carbono como reforço em vigas de madeira. Com esse objetivo, quatro corpos de provas de madeira com reforço de filamento de carbono foram fabricados e os resultados da resistência à compressão foram: 43.3,41.9,44.6,42.7 \mathrm{MPa}.
Neste contexto, é de interesse determinar se há evidência que suporte a afirmação de que a resistência à compressão é diferente de 49 MPa , ao nível de significância de 2 \% ?
A análise é dada por:
As hipóteses estatísticas são \boldsymbol{H}_{0}: \boldsymbol{\mu}\square \square e \boldsymbol{H}_{1}: \boldsymbol{\mu}\square \square
O nível de significância é fixo em \boldsymbol{\alpha}=\square .
O teste \boldsymbol{\Upsilon} : rejeitar \boldsymbol{H}_{\mathbf{0}} se \boldsymbol{t}_{\mathbf{0}} for \square \square ou se t_{0} for \square \square
A estatística do teste é igual a \square .
Conclusão: ao nível de significância de \square\%, \square a hipótese \square Portanto, a resistência média à compressão \square de 49
MPa.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se há evidência, ao nível de significância de 2\%, de que a resistência média à compressão difere de 49 MPa. As informações dadas são os quatro valores observados da resistência com reforço de filamento de carbono:
43{,}3,\;41{,}9,\;44{,}6,\;42{,}7\\ \text{MPa}.
Pontos que precisamos devolver (preencher): as hipóteses H_0 e H_1, o nível de significância \alpha, a regra de rejeição do teste (região crítica), a estatística do teste calculada e, por fim, a conclusão ao nível de 2\% sobre a afirmação de que a média é diferente de 49 MPa.
Passo 2
Qual teste usar e por quê (explicação didática): temos uma amostra pequena (n=4) e a variância populacional é desconhecida. Nessas condições, usamos o teste t de Student para a média. A estatística de teste é
t_0=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde:
\overline{x} é a média amostral;
\mu_0 é o valor sob H_0 (aqui 49 MPa);
s é o desvio padrão amostral (estimativa da raiz da variância populacional);
n é o tamanho da amostra.
O denominador s/\sqrt{n} é o erro padrão da média: ele mede quanto a média amostral costuma variar entre amostras de tamanho n.
Passo 3
Definição das hipóteses (preenchendo formalmente os espaços): a pergunta é se a média é diferente de 49, então é um teste bilateral. Assim:
H_0:\\ \mu=49
H_1:\\ \mu\neq 49.
O nível de significância é dado no enunciado:
\alpha=0{,}02.
Passo 4
Cálculo da média amostral passo a passo: somei os quatro valores e dividi por 4.
Interpretação: a média amostral está cerca de 10{,}33 erros padrão abaixo do valor hipotético 49.
Passo 7
Determinar a região crítica (valores críticos) para um teste bilateral: graus de liberdade
\text{gl}=n-1=3.
Como o teste é bilateral com \alpha=0{,}02, procuramos o quantil t_{1-\alpha/2,\,3}=t_{0{,}99,\,3}. Consultando a tabela de Student (ou lembrando os valores para \text{gl}=3), obtemos aproximadamente
t_{0{,}01,\,3}\approx 4{,}541.
Logo a regra de rejeição (equivalente) é:
rejeitar H_0 se |t_0|>4{,}541,
ou, de forma equivalente,
rejeitar H_0 se t_0>4{,}541 ou t_0<-4{,}541.
Explicação: como é bilateral, dividimos \alpha em duas caudas e usamos t crítico com \alpha/2 em cada cauda.
Passo 8
Decisão do teste e conclusão (interpretação final): calculamos |t_0|\approx 10{,}33, que é muito maior que 4{,}541. Portanto |t_0|>4{,}541, então rejeitamos H_0 ao nível de significância \alpha=0{,}02.
Conclusão em palavras amigáveis: ao nível de 2\% há evidência estatística forte de que a resistência média à compressão das vigas reforçadas com filamento de carbono é diferente de 49 MPa. Observando o sinal de t_0 (negativo), a média amostral é significativamente menor que 49 MPa.
Resposta
H_0:\\ \mu=49 \ H_1:\\ \mu\neq 49 \ \alpha=0{,}02 \
Rejeitar H_0 se |t_0|>t_{0{,}01,\,3}\approx 4{,}541 (ou se t_0>4{,}541 ou t_0<-4{,}541) \
Estatística do teste: t_0\approx -10{,}33 \
Conclusão: ao nível de significância de 2\%, rejeitamos H_0. Portanto, a resistência média à compressão é diferente de 49 MPa (especificamente, significativamente menor).