O rendimento de um processo químico está sendo estudado. Com este objetivo, os últimos seis dias de operação da planta resultaram nos seguintes rendimentos percentuais:
93.7,91.93,93.06,88.84,91.68,94.6 Determine o intervalo de 98 \% de confiança para o rendimento percentual médio.

Resposta:

  • A margem de erro é igual a \square .
  • Com \square % de confiança, uma faixa de valores plausíveis do
    \square percentual médio varia de \square a \square .

Passo 1

O enunciado fornece os seis rendimentos percentuais observados nos últimos dias:
93,7,\;91,93,\;93,06,\;88,84,\;91,68,\;94,6.
O que nos pedem é determinar o intervalo de confiança de 98\% para o rendimento percentual médio da planta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Amostra: } n=6,\quad x_1=93,7,\;x_2=91,93,\;x_3=93,06,\;x_4=88,84,\;x_5=91,68,\;x_6=94,6.
No final precisamos preencher: (i) a margem de erro, e (ii) a faixa plausível (intervalo de confiança) para o rendimento percentual médio com 98\% de confiança.

Passo 2

Qual método usar? Temos n=6 (amostra pequena) e a variância populacional é desconhecida (o enunciado não dá desvio padrão da população). Nesses casos usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição t de Student. A fórmula geral do intervalo de confiança para a média, quando a variância populacional é desconhecida, é:
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (média dos x_i);
  • s é o desvio-padrão amostral (estimador de \sigma);
  • n é o tamanho da amostra;
  • t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade; para nível de confiança 98\% temos \alpha=0,02 e \alpha/2=0,01;
  • \frac{s}{\sqrt{n}} é o erro-padrão da média.
    Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular a média amostral \bar{x}.
A soma das observações é
\sum_{i=1}^{6} x_i = 93,7+91,93+93,06+88,84+91,68+94,6 = 553,81.
A média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{553,81}{6}=92,301666\ldots
Arredondando para três casas decimais vamos usar
\bar{x}\approx 92,302.

Passo 4

Calcular a variância amostral s^2 e o desvio-padrão amostral s. Usamos a fórmula com somas:
s^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\frac{\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2}{n}\right).
Primeiro calculamos a soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{6}x_i^2 =93,7^2+91,93^2+93,06^2+88,84^2+91,68^2+94,6^2
=8779,69+8451,1249+8660,1636+7892,5456+8405,2224+8949,16 =51137,9065.
\left(\sum x_i\right)^2 =553,81^2=306705,5161. Portanto
\sum_{i=1}^{6}x_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{6}x_i)^2}{6} =51137,9065-\frac{306705,5161}{6} =51137,9065-51117,586016\ldots =20,3204833\ldots
Agora
s^2=\frac{20,3204833\ldots}{n-1}=\frac{20,3204833\ldots}{5}=4,06409666\ldots
e
s=\sqrt{s^2}\approx\sqrt{4,06409666\ldots}\approx 2,01599\ldots
Arredondando:
s\approx 2,016.

Passo 5

Calcular o erro-padrão da média (se) e o quantil t.
O erro-padrão é
\text{se}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{2,01599\ldots}{\sqrt{6}}.
Como \sqrt{6}\approx 2,4494897, obtemos
\text{se}\approx\frac{2,01599}{2,4494897}\approx 0,82303.
Para nível de confiança 98\% temos \alpha/2=0,01 e graus de liberdade n-1=5. O valor crítico da t é (tabela de Student)
t_{0,01,5}\approx 3,3649\\ (\text{aprox. }3,365).

Passo 6

Calcular a margem de erro E:
E=t_{0,01,5}\cdot\text{se}\approx 3,3649\cdot 0,82303\approx 2,7694.
Arredondando a margem de erro para duas casas decimais (prática comum em relatórios percentuais):
E\approx 2,77.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança:
\bar{x}\pm E \approx 92,3017\pm 2,7694.
Os extremos são
\text{limite inferior}=\bar{x}-E\approx 92,3017-2,7694\approx 89,5323\approx 89,53,
\text{limite superior}=\bar{x}+E\approx 92,3017+2,7694\approx 95,0711\approx 95,07.
Interpretação (curta): com 98\% de confiança, o verdadeiro rendimento percentual médio da planta está plausivelmente entre 89,53\% e 95,07\%.

Resposta

  • A margem de erro é igual a \;2,77.
  • Com \;98\% de confiança, uma faixa de valores plausíveis do rendimento percentual médio varia de \;89,53 a \;95,07.

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