O rendimento de um processo químico está sendo estudado. Com este objetivo, os últimos seis dias de operação da planta resultaram nos seguintes rendimentos percentuais:
Determine o intervalo de
de confiança para o rendimento percentual médio.
Resposta:
- A margem de erro é igual a
.
- Com
% de confiança, uma faixa de valores plausíveis do
percentual médio varia de
a
.
Passo 1
O enunciado fornece os seis rendimentos percentuais observados nos últimos dias:
O que nos pedem é determinar o intervalo de confiança de
para o rendimento percentual médio da planta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
No final precisamos preencher: (i) a margem de erro, e (ii) a faixa plausível (intervalo de confiança) para o rendimento percentual médio com
de confiança.
Passo 2
Qual método usar? Temos
(amostra pequena) e a variância populacional é desconhecida (o enunciado não dá desvio padrão da população). Nesses casos usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição
de Student. A fórmula geral do intervalo de confiança para a média, quando a variância populacional é desconhecida, é:
onde:
-
é a média amostral (média dos ); -
é o desvio-padrão amostral (estimador de ); -
é o tamanho da amostra; -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade; para nível de confiança temos e ; -
é o erro-padrão da média.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcular a média amostral
.
A soma das observações é
A soma das observações é
A média amostral é
Arredondando para três casas decimais vamos usar
Passo 4
Calcular a variância amostral
e o desvio-padrão amostral
. Usamos a fórmula com somas:
Primeiro calculamos a soma dos quadrados:
Já
. Portanto
Agora
e
Arredondando:
Passo 5
Calcular o erro-padrão da média (se) e o quantil
.
O erro-padrão é
O erro-padrão é
Como
, obtemos
Para nível de confiança
temos
e graus de liberdade
. O valor crítico da
é (tabela de Student)
Passo 6
Calcular a margem de erro
:
Arredondando a margem de erro para duas casas decimais (prática comum em relatórios percentuais):
Passo 7
Construir o intervalo de confiança:
Os extremos são
Interpretação (curta): com
de confiança, o verdadeiro rendimento percentual médio da planta está plausivelmente entre
e
.
Resposta
- A margem de erro é igual a
. - Com
de confiança, uma faixa de valores plausíveis do rendimento percentual médio varia de a .