Os trabalhos que precisam ser realizados numa determinada máquina chegam de acordo com um processo de Poisson a uma taxa média de 2 por hora. Suponha que a máquina quebre e que sejam necessários 90 minutos para consertá-la. Qual a probabilidade de que cinco ou mais novos trabalhos que chegarão neste intervalo. Assinale a seguir a resposta certa desta questão.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que cheguem cinco ou mais novos trabalhos durante o tempo em que a máquina está quebrada. Informações dadas:
taxa média de chegadas
por hora; tempo de conserto
minutos
horas. A pergunta é: qual a probabilidade de que o número de chegadas
nesse intervalo satisfaça
?
Passo 2
Modelo probabilístico apropriado: quando chegadas ocorrem aleatoriamente e independentemente a uma taxa média constante por unidade de tempo usamos a distribuição de Poisson. Na Poisson a média (parâmetro)
é igual à taxa multiplicada pelo tempo de observação. Aqui:
Explicando devagar:
é o número médio esperado de chegadas no intervalo de
horas; portanto esperamos em média
trabalhos nesse intervalo.
Passo 3
A função massa de probabilidade da Poisson é
onde
é um número inteiro não negativo,
é a base dos logaritmos naturais, e
é o fatorial de
(por exemplo
). Queremos
. Usamos o complemento:
Isto evita somar infinitamente; somamos só até
.
Passo 4
Agora calculamos cada termo com
. Primeiro calcule
. Uma boa aproximação é
Agora cada probabilidade:
Em cada linha mostrei como obter o coeficiente (por exemplo
) e depois multipliquei por
.
Passo 5
Somamos as probabilidades de
até
:
Fazendo a soma passo a passo:
Logo
Convertendo para porcentagem:
(arredondando a duas casas decimais).
Passo 6
Resumo do raciocínio prático que você pode usar na prova: 1) calcule
taxa
tempo; 2) use a fórmula da Poisson para
; 3) some até o limite desejado e faça o complemento se for “maior ou igual a”. Aqui
e deu
. Vai dar certo — respira e confia no passo a passo.
Resposta
a.