Os trabalhos que precisam ser realizados numa determinada máquina chegam de acordo com um processo de Poisson a uma taxa média de 2 por hora. Suponha que a máquina quebre e que sejam necessários 90 minutos para consertá-la. Qual a probabilidade de que cinco ou mais novos trabalhos que chegarão neste intervalo. Assinale a seguir a resposta certa desta questão.
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 18,47 \%
\bigcirc b. 35,50 \%
\bigcirc c. 11,58 \%
\bigcirc d. 8,65 \%
\bigcirc e. 23,18 \%

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que cheguem cinco ou mais novos trabalhos durante o tempo em que a máquina está quebrada. Informações dadas: taxa média de chegadas =2 por hora; tempo de conserto =90 minutos =1{,}5 horas. A pergunta é: qual a probabilidade de que o número de chegadas N nesse intervalo satisfaça N\ge 5?

Passo 2

Modelo probabilístico apropriado: quando chegadas ocorrem aleatoriamente e independentemente a uma taxa média constante por unidade de tempo usamos a distribuição de Poisson. Na Poisson a média (parâmetro) \lambda é igual à taxa multiplicada pelo tempo de observação. Aqui:
\lambda = (\text{taxa}) \times (\text{tempo}) = 2 \times 1{,}5 = 3.
Explicando devagar: \lambda é o número médio esperado de chegadas no intervalo de 1{,}5 horas; portanto esperamos em média 3 trabalhos nesse intervalo.

Passo 3

A função massa de probabilidade da Poisson é
P(N=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde k é um número inteiro não negativo, e é a base dos logaritmos naturais, e k! é o fatorial de k (por exemplo 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1). Queremos P(N\ge 5). Usamos o complemento:
P(N\ge 5)=1-P(N\le 4)=1-\sum_{k=0}^{4} P(N=k).
Isto evita somar infinitamente; somamos só até k=4.

Passo 4

Agora calculamos cada termo com \lambda=3. Primeiro calcule e^{-3}. Uma boa aproximação é
e^{-3}\approx 0{,}04978706837.
Agora cada probabilidade:
P(N=0)=e^{-3}\frac{3^{0}}{0!}=e^{-3}\approx 0{,}04978706837.
P(N=1)=e^{-3}\frac{3^{1}}{1!}=3e^{-3}\approx 3\times 0{,}04978706837=0{,}14936120511.
P(N=2)=e^{-3}\frac{3^{2}}{2!}= \frac{9}{2}e^{-3}=4{,}5\,e^{-3}\approx 4{,}5\times 0{,}04978706837=0{,}22404180767.
P(N=3)=e^{-3}\frac{3^{3}}{3!}=\frac{27}{6}e^{-3}=4{,}5\,e^{-3}\approx 0{,}22404180767.
P(N=4)=e^{-3}\frac{3^{4}}{4!}=\frac{81}{24}e^{-3}=3{,}375\,e^{-3}\approx 3{,}375\times 0{,}04978706837=0{,}16803135575.
Em cada linha mostrei como obter o coeficiente (por exemplo \tfrac{9}{2}=4{,}5) e depois multipliquei por e^{-3}.

Passo 5

Somamos as probabilidades de k=0 até k=4:
\sum_{k=0}^{4} P(N=k)\approx 0{,}04978706837+0{,}14936120511+0{,}22404180767+0{,}22404180767+0{,}16803135575.
Fazendo a soma passo a passo:
0{,}04978706837+0{,}14936120511=0{,}19914827348,
0{,}19914827348+0{,}22404180767=0{,}42319008115,
0{,}42319008115+0{,}22404180767=0{,}64723188882,
0{,}64723188882+0{,}16803135575=0{,}81526324457.
Logo
P(N\ge 5)=1-0{,}81526324457\approx 0{,}18473675543.
Convertendo para porcentagem: 0{,}18473675543\approx 18{,}47\% (arredondando a duas casas decimais).

Passo 6

Resumo do raciocínio prático que você pode usar na prova: 1) calcule \lambda= taxa \times tempo; 2) use a fórmula da Poisson para P(N=k); 3) some até o limite desejado e faça o complemento se for “maior ou igual a”. Aqui \lambda=3 e deu P(N\ge5)\approx 18{,}47\%. Vai dar certo — respira e confia no passo a passo.

Resposta

a. 18{,}47\%

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