Suponha que h seja integrável e que \int k(r) dr =0 e \int_{-1}^{3} h(r) d r=6. Calcule
-\int_{3}^{1} h(u) d u

Passo 1

O enunciado diz que h é integrável, que
\int_{-1}^{1}h(r)\,dr = 0
e que
\int_{-1}^{3}h(r)\,dr = 6.
Queremos calcular
-\int_{3}^{1}h(u)\,du.

Passo 2

Usamos a propriedade de troca de limites de integração:
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx.
Logo,
-\int_{3}^{1}h(u)\,du = \int_{1}^{3}h(u)\,du.

Passo 3

Para avaliar \int_{1}^{3}h(u)\,du, quebramos em dois trechos usando aditividade da integral:
\int_{1}^{3}h(u)\,du = \int_{-1}^{3}h(u)\,du \;-\;\int_{-1}^{1}h(u)\,du.

Passo 4

Substituímos os valores dados:
\int_{-1}^{3}h(u)\,du = 6, \qquad \int_{-1}^{1}h(u)\,du = 0.
Portanto,
\int_{1}^{3}h(u)\,du = 6 - 0 = 6.

Resposta

6

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