\int_{1 / 9}^{1 / 2}(-2 x+4) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1/9}^{1/2} (-2x + 4)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções polinomiais e vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo: encontrar uma antiderivada de -2x+4 e depois avaliar nos limites x=1/9 e x=1/2.

Passo 2

Encontramos uma antiderivada F(x) de f(x) = -2x + 4. Usando a regra de potência e linearidade:
\int (-2x)\,dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2,
\int 4\,dx = 4x.
Logo,
F(x) = -x^2 + 4x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\int_{1/9}^{1/2} (-2x + 4)\,dx = F\bigl(1/2\bigr) - F\bigl(1/9\bigr).

Passo 4

Calculamos F(1/2) e F(1/9):
F\bigl(1/2\bigr) = -\bigl(\tfrac12\bigr)^2 + 4\cdot\tfrac12 = -\tfrac14 + 2 = \tfrac{7}{4},
F\bigl(1/9\bigr) = -\bigl(\tfrac{1}{9}\bigr)^2 + 4\cdot\tfrac{1}{9} = -\tfrac{1}{81} + \tfrac{4}{9} = -\tfrac{1}{81} + \tfrac{36}{81} = \tfrac{35}{81}.

Passo 5

Subtraindo:
\int_{1/9}^{1/2} (-2x + 4)\,dx = \frac{7}{4} - \frac{35}{81}.
Colocando em denominador comum 324:
\frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 81}{324} = \frac{567}{324}, \quad \frac{35}{81} = \frac{35 \cdot 4}{324} = \frac{140}{324},
\frac{567}{324} - \frac{140}{324} = \frac{427}{324}.

Resposta

\int_{1/9}^{1/2} (-2x + 4)\,dx = \frac{427}{324}.

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