Suponha que \lim _{x \rightarrow 3} f(x)=7 e \lim _{x \rightarrow 3} g(x)=-3. Determine
\lim _{x \rightarrow 3}(f(x)-g(x))

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre limites quando x tende a 3:
  • \displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)=7.
  • \displaystyle \lim_{x\to 3} g(x)=-3.
O que se pede é:
  • Determinar \displaystyle \lim_{x\to 3}\bigl(f(x)-g(x)\bigr).

Passo 2

Ideia básica (intuitiva): se f(x) se aproxima de 7 quando x se aproxima de 3, e g(x) se aproxima de -3 quando x se aproxima de 3, então ao subtrair g(x) de f(x) as aproximações se subtraem — ou seja, espera-se que
\lim_{x\to 3}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=7-(-3).
A regra usada é a propriedade algébrica dos limites: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com L e M finitos, então
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=L\pm M.
Vou agora justificar isso de forma mais detalhada (uma “prova” simples usando a definição \varepsilon- \delta), para você entender como afirmar isso na prova sem medo.

Passo 3

Prova usando definição de limite ( \varepsilon- \delta), explicada passo a passo:
  1. Tome um \varepsilon>0 qualquer (é assim que se prova um limite: mostramos que para qualquer tolerância \varepsilon existe uma vizinhança de 3 que garante a diferença desejada menor que \varepsilon).
  2. Como \displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)=7, pela definição existe \delta_1>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<\delta_1,
|f(x)-7|<\frac{\varepsilon}{2}.
(Essa escolha de \varepsilon/2 é só uma técnica comum: dividir a tolerância em duas partes para controlar duas parcelas separadas.)
3) Como \displaystyle \lim_{x\to 3} g(x)=-3, existe \delta_2>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<\delta_2,
|g(x)+3|<\frac{\varepsilon}{2}.
  1. Defina \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Então, para todo x com 0<|x-3|<\delta valem simultaneamente as duas desigualdades acima. Agora calcule:
\begin{aligned} \bigl|(f(x)-g(x))-(7-(-3))\bigr| &= \bigl|(f(x)-7)-\bigl(g(x)+3\bigr)\bigr|\\[4pt] &\le |f(x)-7|+|g(x)+3|\\[4pt] &< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{aligned}
Aqui usei a desigualdade triangular |a-b|\le|a|+|b|. Portanto, para esse \delta temos que a diferença entre f(x)-g(x) e 7-(-3) é menor que \varepsilon sempre que 0<|x-3|<\delta. Isso, pela definição, prova que
\lim_{x\to 3}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=7-(-3).]

Passo 4

Agora faço a conta final simples:
7-(-3)=7+3=10.

Resposta

10

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