Suponha que o manuscrito de um livro-texto tenha um total de 50 erros nas 500 páginas de material. Se os erros estão distribuídos aleatoriamente ao longo do texto, qual a probabilidade de que:
uma página aleatoriamente selecionada não tenha nenhum erro?
uma página aleatoriamente selecionada não tenha nenhum erro?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há um total de
erros distribuídos aleatoriamente ao longo de páginas. - Seleciona-se uma página ao acaso.
A pergunta é: qual a probabilidade de que essa página não tenha nenhum erro?
Passo 2
Modelagem intuitiva (sem pular etapas): pense nos
erros como
“eventos” independentes, cada um com probabilidade igual de cair em qualquer uma das
páginas. Fixando uma página específica, cada erro tem probabilidade
de aparecer naquela página e probabilidade
de não aparecer nela.
Definição e fórmula usada: o número de erros
na página escolhida pode ser modelado por uma distribuição binomial com parâmetros
(número de ensaios = erros) e
(probabilidade de sucesso = erro cair naquela página). Para uma binomial vale
Aqui queremos
. Substituindo
e
obtemos
Passo 3
Expressão simplificada e interpretação: a probabilidade exata é
Explicando a ideia prática: isso é a probabilidade de que cada um dos
erros “fique fora” daquela página, e como os erros são independentes multiplicamos as probabilidades.
Passo 4
Cálculo numérico e aproximação útil na prova sem calculadora: podemos usar a aproximação de Poisson quando
é grande e
pequeno. Aqui
. Para uma Poisson com parâmetro
,
A avaliação exata via expansão logarítmica dá um valor muito próximo. Usando
para
obtemos
logo
Passo 5
Interpretação final e dica de prova: tanto a expressão exata
quanto a aproximação de Poisson
são formas aceitas. Na prova, escrever a expressão exata e, se pedirem valor numérico rápido sem calculadora, usar
é suficiente.