Suponha que o manuscrito de um livro-texto tenha um total de 50 erros nas 500 páginas de material. Se os erros estão distribuídos aleatoriamente ao longo do texto, qual a probabilidade de que:
uma página aleatoriamente selecionada não tenha nenhum erro?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há um total de 50 erros distribuídos aleatoriamente ao longo de 500 páginas.
  • Seleciona-se uma página ao acaso.
    A pergunta é: qual a probabilidade de que essa página não tenha nenhum erro?

Passo 2

Modelagem intuitiva (sem pular etapas): pense nos 50 erros como 50 “eventos” independentes, cada um com probabilidade igual de cair em qualquer uma das 500 páginas. Fixando uma página específica, cada erro tem probabilidade
\frac{1}{500}
de aparecer naquela página e probabilidade
1-\frac{1}{500}
de não aparecer nela.
Definição e fórmula usada: o número de erros X na página escolhida pode ser modelado por uma distribuição binomial com parâmetros n=50 (número de ensaios = erros) e p=\dfrac{1}{500} (probabilidade de sucesso = erro cair naquela página). Para uma binomial vale
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.
Aqui queremos P(X=0). Substituindo n=50 e p=\dfrac{1}{500} obtemos
P(X=0)=\binom{50}{0}\left(\frac{1}{500}\right)^{0}\left(1-\frac{1}{500}\right)^{50}=\left(1-\frac{1}{500}\right)^{50}.

Passo 3

Expressão simplificada e interpretação: a probabilidade exata é
\left(\frac{499}{500}\right)^{50}.
Explicando a ideia prática: isso é a probabilidade de que cada um dos 50 erros “fique fora” daquela página, e como os erros são independentes multiplicamos as probabilidades.

Passo 4

Cálculo numérico e aproximação útil na prova sem calculadora: podemos usar a aproximação de Poisson quando n é grande e p pequeno. Aqui \lambda = np = 50\cdot\frac{1}{500}=0,1. Para uma Poisson com parâmetro \lambda,
P(X=0)\approx e^{-\lambda}=e^{-0,1}\approx 0,90484.
A avaliação exata via expansão logarítmica dá um valor muito próximo. Usando \ln(1-x)\approx -x-\tfrac{x^{2}}{2} para x=\tfrac{1}{500}=0,002 obtemos
50\ln\!\left(\frac{499}{500}\right)\approx -0,10010013335,
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\left(\frac{499}{500}\right)^{50}=\exp\!\Big(50\ln\!\big(\tfrac{499}{500}\big)\Big)\approx\exp(-0,10010013335)\approx 0,90475.

Passo 5

Interpretação final e dica de prova: tanto a expressão exata \left(\tfrac{499}{500}\right)^{50} quanto a aproximação de Poisson e^{-0,1} são formas aceitas. Na prova, escrever a expressão exata e, se pedirem valor numérico rápido sem calculadora, usar e^{-0,1}\approx0,905 é suficiente.

Resposta

\left(\dfrac{499}{500}\right)^{50}\approx 0,90475

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