Suponha que o manuscrito de um livro-texto tenha um total de 50 erros nas 500 páginas de material. Se os erros estão distribuídos aleatoriamente ao longo do texto, qual a probabilidade de que:
um capítulo cobrindo 25 páginas tenha dois ou mais erros?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O manuscrito tem 50 erros distribuídos aleatoriamente ao longo de 500 páginas.
  • Um capítulo cobre 25 páginas.
    A pergunta é: qual a probabilidade de que esse capítulo tenha dois ou mais erros?

Passo 2

Vamos modelar o número de erros no capítulo como uma variável aleatória discreta. Uma modelagem natural e exata aqui é a distribuição binomial, porque:
  • há um total fixo de 50 erros (cada erro é uma “tentativa”);
  • cada erro, por estar distribuído aleatoriamente ao longo do texto, tem a mesma probabilidade de cair dentro do capítulo;
  • assumimos independência entre onde cada erro cai (modelo padrão para esse tipo de problema).
    Definimos a variável
X=\text{número de erros que caem no capítulo}.úí
Pelo modelo binomial,
X\sim\mathrm{Bin}\bigl(n=50,\;p=\tfrac{25}{500}\bigr).
Aqui n=50 é o número total de erros e p=\tfrac{25}{500}=\tfrac{1}{20}=0{,}05 é a probabilidade de um erro escolhido ao acaso cair dentro das 25 páginas do capítulo.

Passo 3

Queremos P(X\ge 2). É mais fácil calcular o complementar:
P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1).
As fórmulas binomiais são
P(X=0)=(1-p)^{50}, \qquad P(X=1)=\binom{50}{1}p(1-p)^{49}=50p(1-p)^{49}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente com p=0{,}05 e 1-p=0{,}95.
Calcular (1-p)^{50}=(0{,}95)^{50}. Uma forma prática é usar logaritmo:
\ln(0{,}95)\approx -0{,}05129329438755,
50\ln(0{,}95)\approx -2{,}5646647193775,
(0{,}95)^{50}=e^{50\ln(0{,}95)}\approx e^{-2{,}5646647193775}\approx 0{,}076944975.
Portanto
P(X=0)\approx 0{,}076944975.
Para P(X=1):
P(X=1)=50\cdot 0{,}05\cdot(0{,}95)^{49}=2{,}5\cdot(0{,}95)^{49}.
Note que (0{,}95)^{49}=(0{,}95)^{50}/0{,}95, logo
(0{,}95)^{49}\approx \frac{0{,}076944975}{0{,}95}\approx 0{,}080999974,
P(X=1)\approx 2{,}5\cdot 0{,}080999974\approx 0{,}202499935.
Somando os dois casos:
P(X=0)+P(X=1)\approx 0{,}076944975+0{,}202499935\approx 0{,}279444910.
Portanto
P(X\ge 2)=1-(P(X=0)+P(X=1))\approx 1-0{,}279444910\approx 0{,}720555090.

Passo 5

Interpretação e atalho útil para prova: a resposta exata pelo modelo binomial é aproximadamente 0{,}7206, ou seja, cerca de 72{,}06\%. Há também um atalho usado frequentemente: como n é moderado e p é pequeno, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma Poisson com \lambda=np=50\cdot0{,}05=2{,}5. Usando Poisson
P(X\ge2)\approx 1-e^{-\lambda}(1+\lambda)=1-e^{-2{,}5}(1+2{,}5)\approx 0{,}7127,
o que dá um valor bem próximo (aproximação rápida em prova). Mas o cálculo binomial que fizemos é o exato dentro do modelo e é preferível se der tempo.
Força aí — deu trabalho, mas essa é a maneira certa de pensar: modelar, escrever a fórmula, calcular P(0) e P(1) e subtrair de 1.

Resposta

0{,}7206

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