Suponha que o manuscrito de um livro-texto tenha um total de 50 erros nas 500 páginas de material. Se os erros estão distribuídos aleatoriamente ao longo do texto, qual a probabilidade de que:
um capítulo cobrindo 25 páginas tenha dois ou mais erros?
um capítulo cobrindo 25 páginas tenha dois ou mais erros?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O manuscrito tem
erros distribuídos aleatoriamente ao longo de páginas. - Um capítulo cobre
páginas.
A pergunta é: qual a probabilidade de que esse capítulo tenha dois ou mais erros?
Passo 2
Vamos modelar o número de erros no capítulo como uma variável aleatória discreta. Uma modelagem natural e exata aqui é a distribuição binomial, porque:
- há um total fixo de
erros (cada erro é uma “tentativa”); - cada erro, por estar distribuído aleatoriamente ao longo do texto, tem a mesma probabilidade de cair dentro do capítulo;
- assumimos independência entre onde cada erro cai (modelo padrão para esse tipo de problema).
Definimos a variável
Pelo modelo binomial,
Aqui
é o número total de erros e
é a probabilidade de um erro escolhido ao acaso cair dentro das
páginas do capítulo.
Passo 3
Queremos
. É mais fácil calcular o complementar:
As fórmulas binomiais são
Passo 4
Agora calculamos numericamente com
e
.
Calcular
. Uma forma prática é usar logaritmo:
Portanto
Para
:
Note que
, logo
Somando os dois casos:
Portanto
Passo 5
Interpretação e atalho útil para prova: a resposta exata pelo modelo binomial é aproximadamente
, ou seja, cerca de
. Há também um atalho usado frequentemente: como
é moderado e
é pequeno, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma Poisson com
. Usando Poisson
o que dá um valor bem próximo (aproximação rápida em prova). Mas o cálculo binomial que fizemos é o exato dentro do modelo e é preferível se der tempo.
Força aí — deu trabalho, mas essa é a maneira certa de pensar: modelar, escrever a fórmula, calcular P(0) e P(1) e subtrair de 1.