Suponha que o manuscrito de um livro-texto tenha um total de 50 erros nas 500 páginas de material. Se os erros estão distribuídos aleatoriamente ao longo do texto, qual a probabilidade de que:
um capítulo cobrindo 50 páginas tenha no mínimo dois erros?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Existem 50 erros no total distribuídos ao longo de 500 páginas.
  • Um capítulo tem 50 páginas.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que esse capítulo tenha no mínimo dois erros (isto é, pelo menos dois erros)?

Passo 2

Escolha do modelo (explicada passo a passo):
  • Como os 50 erros estão “distribuídos aleatoriamente ao longo do texto”, cada erro tem a mesma probabilidade de cair em qualquer página. Assim, para cada erro a probabilidade de ele cair dentro do capítulo de 50 páginas é
p=\frac{50}{500}=0,1.
  • Como há exatamente n=50 erros (eventos discretos e independentes entre si quanto à escolha da página), o número X de erros que caem no capítulo pode ser modelado por uma distribuição binomial com parâmetros n e p. Ou seja,
X\sim\text{Binomial}(n=50,\;p=0,1).
  • Lembrete sobre a binomial: a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos (aqui, k erros no capítulo) é
\mathbb{P}(X=k)=\binom{50}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{50-k},
onde \binom{50}{k} é o número de formas de escolher quais k dos 50 erros caem no capítulo.

Passo 3

Expressar a quantidade pedida em termos da distribuição:
  • Queremos \mathbb{P}(X\ge 2). É mais fácil calcular o complementar:
\mathbb{P}(X\ge 2)=1-\mathbb{P}(X=0)-\mathbb{P}(X=1).

Passo 4

Calcular \mathbb{P}(X=0) e \mathbb{P}(X=1) explicitamente:
  • Para k=0:
\mathbb{P}(X=0)=\binom{50}{0}\,0,1^{0}\,0,9^{50}=0,9^{50}.
  • Para k=1:
\mathbb{P}(X=1)=\binom{50}{1}\,0,1^{1}\,0,9^{49}=50\cdot 0,1\cdot 0,9^{49}.
  • Observação prática para facilitar cálculo: 0,9^{49}=0,9^{50}/0,9, então
\mathbb{P}(X=1)=50\cdot 0,1\cdot \frac{0,9^{50}}{0,9}=\frac{5}{0,9}\,0,9^{50}\approx 5{,}555\ldots\cdot 0,9^{50}.

Passo 5

Avaliar numericamente as potências e as probabilidades:
  • Calcular 0,9^{50}. Usando a exponenciação (ou uma calculadora) obtém-se aproximadamente
0,9^{50}\approx 0,005158.
  • Então
\mathbb{P}(X=0)\approx 0,005158, \qquad \mathbb{P}(X=1)\approx 50\cdot 0,1\cdot 0,9^{49}\approx 0,028657.
  • Somando os casos complementares:
\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)\approx 0,005158+0,028657=0,033815.
  • Finalmente:
\mathbb{P}(X\ge 2)=1-0,033815\approx 0,966185.

Passo 6

Interpretação final e dica rápida:
  • A probabilidade de o capítulo de 50 páginas conter pelo menos dois erros é muito alta, cerca de 96{,}6\%.
  • Dica prática para a prova: modelar o número de erros numa subparte do texto como binomial é direto quando o total de erros é conhecido e cada erro é igualmente provável de cair em qualquer parte. Se o número total de erros fosse grande e p pequeno, poderia-se também usar a aproximação de Poisson com média \lambda=n p (aqui \lambda=50\times0,1=5) para cálculos rápidos, mas a binomial aqui é exata e direta.

Resposta

0,9662

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