Suponha que o manuscrito de um livro-texto tenha um total de 50 erros nas 500 páginas de material. Se os erros estão distribuídos aleatoriamente ao longo do texto, qual a probabilidade de que:
um capítulo cobrindo 50 páginas tenha no mínimo dois erros?
um capítulo cobrindo 50 páginas tenha no mínimo dois erros?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Existem
erros no total distribuídos ao longo de páginas. - Um capítulo tem
páginas. - Pergunta: qual a probabilidade de que esse capítulo tenha no mínimo dois erros (isto é, pelo menos dois erros)?
Passo 2
Escolha do modelo (explicada passo a passo):
- Como os
erros estão “distribuídos aleatoriamente ao longo do texto”, cada erro tem a mesma probabilidade de cair em qualquer página. Assim, para cada erro a probabilidade de ele cair dentro do capítulo de páginas é
- Como há exatamente
erros (eventos discretos e independentes entre si quanto à escolha da página), o número de erros que caem no capítulo pode ser modelado por uma distribuição binomial com parâmetros e . Ou seja,
- Lembrete sobre a binomial: a probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos (aqui, erros no capítulo) é
onde
é o número de formas de escolher quais
dos 50 erros caem no capítulo.
Passo 3
Expressar a quantidade pedida em termos da distribuição:
- Queremos
. É mais fácil calcular o complementar:
Passo 4
Calcular
e
explicitamente:
- Para
:
- Para
:
- Observação prática para facilitar cálculo:
, então
Passo 5
Avaliar numericamente as potências e as probabilidades:
- Calcular
. Usando a exponenciação (ou uma calculadora) obtém-se aproximadamente
- Então
- Somando os casos complementares:
- Finalmente:
Passo 6
Interpretação final e dica rápida:
- A probabilidade de o capítulo de
páginas conter pelo menos dois erros é muito alta, cerca de . - Dica prática para a prova: modelar o número de erros numa subparte do texto como binomial é direto quando o total de erros é conhecido e cada erro é igualmente provável de cair em qualquer parte. Se o número total de erros fosse grande e
pequeno, poderia-se também usar a aproximação de Poisson com média (aqui ) para cálculos rápidos, mas a binomial aqui é exata e direta.