Suponha que a Marinha do Brasil realizará um desfile naval passando pelo litoral do Rio de Janeiro no próximo dia 07 de setembro. No desfile, serão utilizados navios de 04 classes distintas, nas quantidades descritas na tabela abaixo e idênticos por classe. A formatura contará com uma única coluna com navios equidistantes e em alinhamento perfeito, ou seja, um militar de um navio observa apenas o navio que está imediatamente à sua frente. Calcule a probabilidade de organizar a formatura de forma que ao menos duas Fragatas visualizem outro navio de mesma classe e assinale a opção correta.
Classe Quantidade
Apoio 04
Corveta 03
Fragata 04
Patrulha 03

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, numa permutação aleatória de 14 navios (4 Apoio, 3 Corveta, 4 Fragata e 3 Patrulha), ocorrerem pelo menos duas vezes um navio Fragata observando imediatamente à sua frente outro navio Fragata. O que precisamos: modelar a permutação de um multiconjunto e contar casos em que há zero, um ou >=2 pares adjacentes de Fragata–Fragata.

Passo 2

Vamos chamar de Y o número de Fragatas que têm outra Fragata imediatamente à sua frente. Queremos
P(Y\ge2) \;=\;1 - \bigl[P(Y=0)+P(Y=1)\bigr].
Primeiro calculamos o total de permutações distintas dos 14 navios, tratando navios da mesma classe como idênticos:
N_{\rm total}=\frac{14!}{4!\,3!\,4!\,3!}=4\,204\,200.

Passo 3

Contagem de Y=0 (nenhuma Fragata adjacente): para não haver duas Fragatas juntas, colocamos as 10 não-Fragata em ordem (contadas por \tfrac{10!}{4!\,3!\,3!}=4\,200) e inserimos as 4 Fragatas em 4 dos 11 “vãos” (antes, entre e depois), ou seja \binom{11}{4} escolhas de vãos. Logo
N_0=\binom{11}{4}\times4\,200=330\times4\,200=1\,386\,000,
P(Y=0)=\frac{1\,386\,000}{4\,204\,200}\approx0,3297.

Passo 4

Contagem de Y=1 (exatamente um par adjacente): queremos um único bloco “FF” e as outras 2 Fragatas isoladas, sem gerar outros pares. Tratamos o bloco duplo e as 2 unidades simples como três blocos que não podem tocar entre si, inseridos nos 11 vãos dos 10 não-Fragata.
  • Número de formas de escolher 3 vãos: \binom{11}{3}.
  • Destes, escolhemos 1 para o bloco duplo ( 3 maneiras).
  • A ordem interna dos não-Fragata continua \tfrac{10!}{4!\,3!\,3!}=4\,200.
    Assim
N_1=\binom{11}{3}\times3\times4\,200 =165\times3\times4\,200 =2\,079\,000,
P(Y=1)=\frac{2\,079\,000}{4\,204\,200}\approx0,4946.

Passo 5

Finalmente,
P(Y\ge2) =1 - [P(Y=0)+P(Y=1)] =1 - \frac{1\,386\,000+2\,079\,000}{4\,204\,200} =\frac{739\,200}{4\,204\,200} \approx0,1758.

Resposta

A probabilidade de pelo menos duas Fragatas visualizarem outra Fragata é aproximadamente 0,1758 (ou 17,58\%).

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