Exercício 6. Suponha que T \in \mathcal{L}(V) e sejam v_{1}, \ldots, v_{n} \in V tais que V=\operatorname{span}\left\{T v_{1}, \ldots, T v_{n}\right\}. Mostre que V=\operatorname{span}\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a consequência:
  • Dados: T\in\mathcal{L}(V) (ou seja, T é uma transformação linear de V em si mesma) e vetores v_{1},\dots,v_{n}\in V.
  • Informação importante: V=\operatorname{span}\{T v_{1},\dots,T v_{n}\}. Aqui \operatorname{span}\{\dots\} significa o subespaço formado por todas as combinações lineares desses vetores.
  • O que pedir: mostrar que V=\operatorname{span}\{v_{1},\dots,v_{n}\}. Em palavras: provar que os vetores v_{1},\dots,v_{n} também geram todo V.
Não vou resolver nada ainda neste passo, apenas deixei o que foi dado e o que se pede bem claro.

Passo 2

Defino o subespaço gerado pelos v_i:
W:=\operatorname{span}\{v_{1},\dots,v_{n}\}.
Explico por que a hipótese implica que T(W)=V.
  • Por definição de W, qualquer elemento de T(W) tem a forma T\big(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i v_i\big)=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i T v_i.
  • Então T(W)=\operatorname{span}\{T v_{1},\dots,T v_{n}\}.
  • Pela hipótese do enunciado temos \operatorname{span}\{T v_{1},\dots,T v_{n}\}=V.
  • Logo
T(W)=V.
Interpretação didática: T aplicado ao subespaço gerado pelos v_i dá todo o espaço V; formalmente, a restrição de T a W (isto é, T|_{W}:W\to V) é sobrejetora.

Passo 3

Vou usar um fato de teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais (explico já): se X for um espaço vetorial de dimensão finita, e L:X\to Y for uma transformação linear, então o posto (rank) de L satisfaz
\operatorname{rank}(L)\le \dim X.
Aqui as palavras significam:
  • \dim X é a dimensão do espaço X (o número máximo de vetores linearmente independentes em X).
  • \operatorname{rank}(L) é a dimensão da imagem \operatorname{Im}(L), isto é, \operatorname{rank}(L)=\dim(\operatorname{Im}(L)).
    Esse fato é trivial: a imagem de L é um subespaço de Y obtido a partir de combinações de vetores de X, então sua dimensão não pode exceder a dimensão de X.
Observação prática e crucial: estou usando que V (e portanto W\subset V) tem dimensão finita — isso é natural no contexto onde se fala de um número finito n de vetores e de \mathcal{L}(V). Se você tiver alguma dúvida sobre essa suposição, me avisa; mas a prova a seguir requer finitude de dimensão.

Passo 4

Aplicando o fato anterior à restrição T|_{W}:W\to V:
  • Já mostramos que T|_{W} é sobrejetora, porque T(W)=V.
  • Portanto \operatorname{rank}(T|_{W})=\dim(\operatorname{Im}(T|_{W}))=\dim V.
  • Pela desigualdade do passo anterior temos
\operatorname{rank}(T|_{W})\le \dim W.
  • Substituindo \operatorname{rank}(T|_{W})=\dim V obtemos
\dim V \le \dim W.
Explicando devagar: a imagem da restrição tem dimensão \dim V (pois é igual a V); mas a imagem não pode ter dimensão maior que o domínio W, logo \dim V\le \dim W.

Passo 5

Agora compare dimensões entre W e V:
  • Pelo próprio fato de W ser subespaço de V (pois W=\operatorname{span}\{v_i\}\subseteq V) temos a desigualdade
\dim W \le \dim V.
  • Do passo anterior temos \dim V \le \dim W.
  • Juntando as duas desigualdades segue que
\dim W = \dim V.
Lembrando: se U é subespaço de V e \dim U = \dim V então U=V. Isso é um fato básico de espaços vetoriais finito-dimensionais (porque não pode haver um subespaço próprio com a mesma dimensão).

Passo 6

Concluo a prova:
  • Como W\subseteq V e \dim W=\dim V, temos W=V.
  • Mas W foi definido como \operatorname{span}\{v_{1},\dots,v_{n}\}.
  • Portanto
V=\operatorname{span}\{v_{1},\dots,v_{n}\},
que era o que queríamos mostrar.
Comentário final didático e encorajador: a ideia-chave foi ver que a hipótese diz que T envia o subespaço gerado pelos v_i sobre todo V. Como a imagem não pode ter dimensão maior que o domínio, esse subespaço já tem dimensão pelo menos igual à de V; sendo subespaço, só pode ter exatamente a mesma dimensão, então coincide com V. Nada mágico — é só manipular a relação entre imagem, domínio e dimensões. Você mandou bem trazendo o enunciado; com essa estratégia você resolve problemas semelhantes rapidinho na prova.

Resposta

V=\operatorname{span}\{v_{1},\dots,v_{n}\}

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