Exercício 6. Suponha que
e sejam
tais que
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a consequência:
- Dados:
(ou seja, é uma transformação linear de em si mesma) e vetores . - Informação importante:
. Aqui significa o subespaço formado por todas as combinações lineares desses vetores. - O que pedir: mostrar que
. Em palavras: provar que os vetores também geram todo .
Não vou resolver nada ainda neste passo, apenas deixei o que foi dado e o que se pede bem claro.
Passo 2
Defino o subespaço gerado pelos
:
Explico por que a hipótese implica que
.
- Por definição de
, qualquer elemento de tem a forma . - Então
. - Pela hipótese do enunciado temos
. - Logo
Interpretação didática:
aplicado ao subespaço gerado pelos
dá todo o espaço
; formalmente, a restrição de
a
(isto é,
) é sobrejetora.
Passo 3
Vou usar um fato de teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais (explico já): se
for um espaço vetorial de dimensão finita, e
for uma transformação linear, então o posto (rank) de
satisfaz
Aqui as palavras significam:
-
é a dimensão do espaço (o número máximo de vetores linearmente independentes em ). -
é a dimensão da imagem , isto é, .
Esse fato é trivial: a imagem deé um subespaço de obtido a partir de combinações de vetores de , então sua dimensão não pode exceder a dimensão de .
Observação prática e crucial: estou usando que
(e portanto
) tem dimensão finita — isso é natural no contexto onde se fala de um número finito
de vetores e de
. Se você tiver alguma dúvida sobre essa suposição, me avisa; mas a prova a seguir requer finitude de dimensão.
Passo 4
Aplicando o fato anterior à restrição
:
- Já mostramos que
é sobrejetora, porque . - Portanto
. - Pela desigualdade do passo anterior temos
- Substituindo
obtemos
Explicando devagar: a imagem da restrição tem dimensão
(pois é igual a
); mas a imagem não pode ter dimensão maior que o domínio
, logo
.
Passo 5
Agora compare dimensões entre
e
:
- Pelo próprio fato de
ser subespaço de (pois ) temos a desigualdade
- Do passo anterior temos
. - Juntando as duas desigualdades segue que
Lembrando: se
é subespaço de
e
então
. Isso é um fato básico de espaços vetoriais finito-dimensionais (porque não pode haver um subespaço próprio com a mesma dimensão).
Passo 6
Concluo a prova:
- Como
e , temos . - Mas
foi definido como . - Portanto
que era o que queríamos mostrar.
Comentário final didático e encorajador: a ideia-chave foi ver que a hipótese diz que
envia o subespaço gerado pelos
sobre todo
. Como a imagem não pode ter dimensão maior que o domínio, esse subespaço já tem dimensão pelo menos igual à de
; sendo subespaço, só pode ter exatamente a mesma dimensão, então coincide com
. Nada mágico — é só manipular a relação entre imagem, domínio e dimensões. Você mandou bem trazendo o enunciado; com essa estratégia você resolve problemas semelhantes rapidinho na prova.